Декартово дерево

Эта статья про Курево

Декартово дерево — это структура данных, объединяющая в себе бинарное дерево поиска и бинарную кучу (отсюда и второе её название: [math]treap (tree+heap)[/math] и дерамида (дерево+пирамида).

Более строго, это структура данных, которая хранит пары [math] (X,Y) [/math] в виде бинарного дерева таким образом, что она является бинарным деревом поиска по [math]x[/math] и бинарной пирамидой по [math]y[/math]. Предполагая, что все [math]X[/math] и все [math]Y[/math] являются различными, получаем, что если некоторый элемент дерева содержит [math](X_0,Y_0)[/math], то [math]у[/math] всех элементов в левом поддереве [math]X \lt X_0[/math], у всех элементов в правом поддереве [math] X \gt X_0[/math], а также и в левом, и в правом поддереве имеем: [math] Y \lt Y_0[/math].

Дерамиды были предложены Сиделем (Siedel) и Арагоном (Aragon) в 1996 г.

Операция split

Операция [math]\mathrm{split}[/math](распилить) позволяет сделать следующее: разрезать декартово дерево [math]T[/math] по ключу [math]x[/math] и получить два других декартовых дерева: [math]T_1[/math] и [math]T_2[/math], причем в [math]T_1[/math] находятся все ключи дерева [math]T[/math], не большие [math]x[/math], а в [math]T_2[/math] — большие [math]x[/math].

[math]\mathrm{split}(T, x) \to \{T_1, T_2\}[/math].

Как же устроена сея замечательная операция?

Рассмотрим случай, в котором требуется распилить дерево по ключу, большему ключа корня. Посмотрим, как будут устроены результирующие деревья [math]T_1[/math] и [math]T_2[/math]:

• [math]T_1[/math]: левое поддерево [math]T_1[/math] совпадёт с левым поддеревом [math]T[/math]. Для нахождения правого поддерева [math]T_1[/math], нужно распилить правое поддерево [math]T[/math] на [math]T^R_1[/math] и [math]T^R_2[/math] по ключу [math]x[/math] и взять [math]T^R_1[/math].
• [math]T_2[/math] совпадёт с [math]T^R_2[/math].

Случай, в котором требуется распилить дерево по ключу, меньше либо равному ключа в корне, рассматривается симметрично.

Оценим время работы операции [math]\mathrm{split}[/math]. Во время выполнения вызывается одна операция [math]\mathrm{split}[/math] для дерева хотя бы на один меньшей высоты и делается ещё [math]\mathcal{O}(1)[/math] операция. Тогда итоговая трудоёмкость этой операции равна [math]\mathcal{O}(h)[/math], где [math]h[/math] — высота дерева. Так как высота декартова дерева — [math]\mathcal{O}(\log n)[/math], то и операция [math]\mathrm{split}[/math] работает за [math]\mathcal{O}(\log n)[/math].

TODO: Запилить рисунок

Операция merge

Рассмотрим вторую замечательную операцию с декартовыми деревьями — [math]\mathrm{merge}[/math](слить).

С помощью этой операции можно починить всё, что предварительно было сломано с помощью операции [math]\mathrm{split}[/math]. А именно, [math]\mathrm{merge}[/math] принимает два дерева, причем все ключи в первом(левом) должны быть больше, чем ключи во втором(правом), и создаёт новое дерево, в котором есть все ключи из первого и второго деревьев.

[math]\mathrm{merge}(T_1, T_2) \to T[/math]

Рассмотрим принцип работы этой операции. Пусть нужно слить деревья [math]T_1[/math] и [math]T_2[/math]. Тогда, очевидно, у результирующего дерева [math]T[/math] есть корень. Какая вершина может быть корнем? Самая высокая из вершин [math]T_1[/math] и [math]T_2[/math]. Но самая высокая вершина из всех вершин деревьев [math]T_1[/math] и [math]T_2[/math] может быть только либо корнем [math]T_1[/math], либо корнем [math]T_2[/math]. Рассмотрим случай, в котором корень [math]T_1[/math] выше корня [math]T_2[/math]. Случай, в котором корень [math]T_2[/math] выше корня [math]T_1[/math], симметричен этому.

Если корень [math]T_1[/math] выше корня [math]T_2[/math], то он и будет являться корнем. Тогда левое поддерево [math]T[/math] совпадёт с левым поддеревом [math]T_1[/math]. Справа же нужно подвесить объединение правого поддерева [math]T_1[/math] и дерева [math]T_2[/math].

Рассуждая аналогично операции [math]\mathrm{split}[/math] приходим к выводу, что трудоёмкость операции [math]\mathrm{merge}[/math] равна [math]\mathcal{O}(\log n)[/math].

TODO: запилить рисунок

Операция add

Операция [math]add(T, k)[/math] добавляет в дерево [math]T[/math] элемент [math]k[/math], где [math]k.x[/math] — ключ, а [math]k.y[/math]— приоритет.

Реализация №1:

1. Разбиваем наше дерево по ключу, который мы хотим добавить, то есть [math]split(T, T_1, T_2, k.x)[/math].
2. Сливаем первое дерево с новым элементом, то есть [math]merge(T_1, T_1, k)[/math].
3. Сливаем получившиеся дерево со вторым, то есть [math]merge(T, T_1, T_2)[/math].

Реализация №2:

Сначала спускаемся по дереву (как в обычном бинарном дереве поиска по [math]k.x[/math]), но останавливаемся на первом элементе, в котором значение приоритета оказалось меньше [math]k.y[/math]. Мы нашли позицию, куда будем вставлять наш элемент. Теперь вызываем [math]split(T, T_1, T_2, k.x)[/math] от найденного элемента (от элемента вместе со всем его поддеревом), и возвращаемые ею [math]T_1[/math] и [math]T_2[/math] записываем в качестве левого и правого сына добавляемого элемента.

Операция remove

Операция [math]remove(T, x)[/math] удаляет из дерева [math]T[/math] элемент с ключом [math]x[/math].

Реализация №1:

1. Разбиваем наше дерево по ключу, который мы хотим удалить, то есть [math]split(T, T_1, T_2, x)[/math].
2. Теперь отделяем от второго дерева элемент [math]x[/math], опять таки разбивая по ключу [math]x[/math], то есть [math]split(T_2, T_2, T_3, x)[/math].
3. Сливаем первое дерево со третьим, то есть [math]merge(T, T_1, T_3)[/math].

Реализация №2:

Спускаемся по дереву (как в обычном бинарном дереве поиска по [math]x[/math]), ища удаляемый элемент. Найдя элемент, мы просто вызываем [math]merge[/math] его левого и правого сыновей, и возвращаемое ею значение ставим на место удаляемого элемента, то есть [math]merge(T,T.l,T.r)[/math].