Явление Гиббса

<<>>

Эта статья находится в разработке!

Определение:

Явление Гиббса — некоторое особое поведение частичных сумм ряда Фурье в окрестности точки разрыва разлагаемой функции.

С целью упрощения вычислений рассмотрим на примере функции, равной знаку числа [math]f(x) = \operatorname{sign} x[/math], [math]2\pi[/math]-периодизованной. Эта функция удовлетворяет условию теоремы Дини в каждой точке, значит, в каждой точке её можно разложить в ряд Фурье. [math]f(x) [/math] — нечётная, значит, будет ряд только по синусам:

[math]s_n(x) = \int\limits_Q f(t) D_n(t-x) dt = \int\limits_0^\pi + \int\limits_{-\pi}^0 = -1 \cdot \int\limits_{-\pi}^0 D_n(t-x)dt + 1 \cdot \overset{t:=-y}{\int\limits_0^\pi D_n(t-x)dt}[/math] [math]=\int\limits_0^\pi D_n(t-x) dt - \int\limits_0^\pi D_n(t+x)dt[/math] [math]=\int\limits_{-x}^{\pi-x} D_n(t)dt - \int\limits_x^{\pi+x} D_n(t) dt[/math] [math]= \int\limits_{-x}^x + \int\limits_x^{\pi-x} - \int\limits_x^{\pi+x}[/math] [math]= \int\limits_{-x}^x - \left(\int\limits_x^{\pi+x} - \int\limits_x^{\pi-x}\right)[/math] [math]=\int\limits_{-x}^x - \int\limits_{\pi-x}^{\pi+x}[/math] [math]=\int\limits_{-x}^x (D_n(t) - D_n(\pi + t))dt[/math]

Итого: [math]s_n(x) = \int\limits_{-x}^x (D_n(t) - D_n(\pi + t)) dt[/math]

[math]D_n(t) - D_n(\pi + t) = \frac1\pi \frac{\sin [(n+1/2)t - (-1)^n t/2]}{\sin t}[/math]

[math]n + \frac{1-(-1)^n}2 = 2\left[\frac{n+1}2\right][/math]

[math]s_n(x) = \frac1\pi\int\limits_{-x}^x \frac{\sin 2\left[\frac{n+1}2\right]t}{\sin t} dt[/math]

Продифференцируем по [math]x[/math]: [math]s'_n(x) = \frac2\pi \frac{\sin 2\left[\frac{n+1}2\right]x}{\sin x}[/math], [math]x \in \langle 0; \pi\rangle[/math]

[math]s'_n(x_{m_n}) = 0[/math], [math]x_{m_n} = \frac\pi{m_n}[/math], [math]2\left[\frac{n+1}2\right] = m_n[/math]

Путём дифференциального исчисления проверяем, что [math]x_{m_n}[/math] — точка максимума.

[math]s_n(x_{m_n}) = \frac2\pi \int\limits_0^{x_{m_n}} \frac{\sin m_nt}{\sin t} dt=[/math] (заменим переменную на [math]m_n t[/math]) [math]= \frac2\pi \int\limits_0^\pi \frac{\sin t}t \frac{t/m_n}{\sin t/m_n} dt[/math]

[math] \frac{t/m_n}{\sin t/m_n} \xrightarrow[n \to \infty]{} 1[/math], [math]\frac{t}{\sin t}[/math] возрастает, значит, к этому интегралу применима теорема Лебега о предельном переходе под знаком интеграла:

[math]s_n(x_{m_n}) \gt s_{n+1}(x_{m_{n+1}})[/math]

[math]s_n(x_{m_n}) \to \frac2\pi\int\limits_0^\pi\frac{\sin t}t dt \approx 1,17\ldots[/math]

Смысл полученного в следующем: функция пройдёт через точку максимума [math]\gt 1[/math] и резко пойдёт в ноль. Явление — явление Гиббса, он обнаружил физический эффект, связаный с математическим поведением этих сумм.

См. также

Wikipedia — Gibbs phenomenon

<<>>