GNI

Определение

Проблема GNI (Graph Non-Isomorphism) = [math]\{\langle G_1, G_2\rangle : G_1[/math] неизоморфен [math]G_2\}[/math]

Формулировка задачи

GNI ∈ IP

Доказательство

Построим вероятностную машину Verifier, которая будет проверять за полиномиальное время работы и полиномиальное число вызовов к машине Prover, действительно ли два данных графа являются неизоморфными. При этом Prover может работать столько времени, сколько ему надо.

1. Verifier случайным образом выбирает число [math]i = rand(2)[/math].
2. Verifier строит новый граф [math]F[/math], изоморфный графу [math]G_i[/math], перенумеровав в нём вершины случайным образом.
3. Verifier отдаёт граф [math]F[/math] на проверку Prover
4. Prover проверяет, какому из графов изоморфен граф [math]F[/math]. Если графы [math]G_1[/math] и [math]G_2[/math] неизоморфны, то Prover легко определит, какому из них изоморфен граф [math]F[/math]. В таком случае Prover возвращает [math]j : G_j \sim F[/math]. Иначе же для Prover графы [math]G_1, G_2, F[/math] изоморфны. Но у него нет возможности определить, с помощью какого графа Verifier построил граф [math]F[/math]. Поэтому в этом случае Prover возвращает [math]j = rand(2)[/math].
5. Verifier возвращает 1, если [math]j = i[/math], и 0 в противном случае.

Такой Verifier всегда выдаст единицу, если графы неизоморфны, а, если они изоморфны, выдаст единицу с вероятностью [math]1/2[/math]. Чтобы уменьшить вероятность ошибки, надо повторить шаги 1-5 несколько раз, при этом на шаге 5 Verifier ничего не возвращает, а сохраняет получившийся результат. В конце возвращается 1, если при выполнении шагов 1-5 всегда получались единицы, и 0 в противном случае.

Таким образом, [math]GNI \in IP[/math]