|
|
| Строка 1: |
Строка 1: |
| − | {| class="wikitable" align="center" style="color: red; background-color: black; font-size: 56px; width: 800px;"
| |
| − | |+
| |
| − | |-align="center"
| |
| − | |'''НЕТ ВОЙНЕ'''
| |
| − | |-style="font-size: 16px;"
| |
| − | |
| |
| − | 24 февраля 2022 года российское руководство во главе с Владимиром Путиным развязало агрессивную войну против Украины. В глазах всего мира это военное преступление совершено от лица всей страны, всех россиян.
| |
| − |
| |
| − | Будучи гражданами Российской Федерации, мы против своей воли оказались ответственными за нарушение международного права, военное вторжение и массовую гибель людей. Чудовищность совершенного преступления не оставляет возможности промолчать или ограничиться пассивным несогласием.
| |
| − |
| |
| − | Мы убеждены в абсолютной ценности человеческой жизни, в незыблемости прав и свобод личности. Режим Путина — угроза этим ценностям. Наша задача — обьединить все силы для сопротивления ей.
| |
| − |
| |
| − | Эту войну начали не россияне, а обезумевший диктатор. И наш гражданский долг — сделать всё, чтобы её остановить.
| |
| − |
| |
| − | ''Антивоенный комитет России''
| |
| − | |-style="font-size: 16px;"
| |
| − | |Распространяйте правду о текущих событиях, оберегайте от пропаганды своих друзей и близких. Изменение общественного восприятия войны - ключ к её завершению.
| |
| − | |-style="font-size: 16px;"
| |
| − | |[https://meduza.io/ meduza.io], [https://www.youtube.com/c/popularpolitics/videos Популярная политика], [https://novayagazeta.ru/ Новая газета], [https://zona.media/ zona.media], [https://www.youtube.com/c/MackNack/videos Майкл Наки].
| |
| − | |}
| |
| − |
| |
| | == Факторгруппа == | | == Факторгруппа == |
| | Рассмотрим [[группа|группу]] <tex>G</tex> и ее [[нормальная подгруппа|нормальную подгруппу]] <tex>H</tex>. Пусть <tex>G/H</tex> {{---}} множество [[Смежные классы|смежных классов]] <tex>G</tex> по <tex>H</tex>. Определим в <tex>G/H</tex> групповую операцию по следующему правилу. | | Рассмотрим [[группа|группу]] <tex>G</tex> и ее [[нормальная подгруппа|нормальную подгруппу]] <tex>H</tex>. Пусть <tex>G/H</tex> {{---}} множество [[Смежные классы|смежных классов]] <tex>G</tex> по <tex>H</tex>. Определим в <tex>G/H</tex> групповую операцию по следующему правилу. |
Текущая версия на 19:14, 4 сентября 2022
Факторгруппа
Рассмотрим группу [math]G[/math] и ее нормальную подгруппу [math]H[/math]. Пусть [math]G/H[/math] — множество смежных классов [math]G[/math] по [math]H[/math]. Определим в [math]G/H[/math] групповую операцию по следующему правилу.
| Определение: |
| Произведением смежностных классов [math]aH[/math] и [math]bH[/math] назовем смежностный класс [math](ab)H[/math]. |
| Утверждение: |
Определение произведения смежных классов корректно. То есть произведение смежных классов не зависит от выбранных представителей [math]a[/math] и [math]b[/math]. |
| [math]\triangleright[/math] |
|
Пусть [math]aH,bH\in G/H,\,a_1=a\cdot h_a\in aH,\,b_1=b\cdot h_b\in bH[/math]. Докажем, что [math]abH=a_1 b_1 H[/math]. Достаточно показать, что [math]a_1\cdot b_1 \in abH[/math].
В самом деле, [math]a_1\cdot b_1=a\cdot h_a\cdot b\cdot h_b=a\cdot b\cdot (b^{-1}\cdot h_a\cdot b)\cdot h_b[/math]. Элемент [math]h = (b^{-1}\cdot h_a\cdot b)[/math] лежит в [math]H[/math] по свойству нормальности [math]H[/math]. Следовательно, [math]a\cdot b\cdot h\cdot h_b\in abH[/math]. |
| [math]\triangleleft[/math] |
| Определение: |
| Таким образом, множество смежных классов [math]G/H[/math] с введенной на нем операцией произведения образует группу, которая называется факторгруппой [math]G[/math] по [math]H[/math] . Нейтральным элементом является [math]H[/math], обратным к [math]aH[/math] — [math]a^{-1}H[/math]. |
Примеры
- Рассмотрим [math]G=\mathbb{Z}[/math] и её нормальную подгруппу [math]H=n\mathbb{Z}[/math], тогда [math]G/H=\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}[/math] (группы вычетов по модулю [math]n[/math]) будет являться факторгруппой G по H.
- Рассмотрим группу невырожденных матриц [math] GL_n[/math]. Отображение [math]A \rightarrow \det A[/math] является гомоморфизмом [math]GL_n \rightarrow \mathbb{R}[/math]. Ядро — группа матриц с единичным определителем [math]SL_n[/math]. Поэтому [math]SL_n[/math] является нормальной подгруппой в [math]GL_n[/math] и факторгруппа [math]GL_n/SL_n=\mathbb{R}[/math].
| Утверждение: |
В группе перестановок из трех элементов [math]G[/math] и ее не нормальной подгруппе [math]H[/math] перестановок из двух элементов не затрагивающих третий элемент, [math]G/H[/math] не будет являться группой. |
| [math]\triangleright[/math] |
|
Рассмотрим группу [math]S_3[/math](перестановки трех элементов) и ее не нормальную подгруппу [math]S'_2[/math](перестановки не затрагивающие третий элемент). Рассмотрим множество перестановок [math]S_3/S'_2[/math]:
класс [math]E(abc \rightarrow abc[/math] и [math]abc \rightarrow bac)[/math],
класс [math]A(abc \rightarrow acb[/math] и [math]abc \rightarrow bca)[/math],
класс [math]B(abc \rightarrow сab[/math] и [math]abc \rightarrow cba)[/math].
Это смежные классы для [math]S'_2[/math]. Теперь рассмотрим произведения:
[math]abc \rightarrow acb \in A, \, abc \rightarrow cab \in B: (abc \rightarrow acb)(abc \rightarrow cab)=(abc \rightarrow cba) \Rightarrow AB=B[/math]
[math] abc \rightarrow bca \in A, \, abc \rightarrow cba \in B: (abc \rightarrow bca)(abc \rightarrow cba)=(abc \rightarrow bca) \Rightarrow AB=E[/math].
Противоречие. То есть согласованного с группой умножения нет. [math] \Rightarrow S_3/S'_2[/math] не является группой. |
| [math]\triangleleft[/math] |
