B-дерево

B-дерево — дерево поиска, позволяющее проводить поиск, добавление и удаление элементов за [math]O(\log n)[/math].

B-дерево было впервые предложено Р. Бэйером и Е. МакКрейтом в 1970 году.

Структура

B-дерево является идеально сбалансированным, то есть глубина всех его листьев одинакова.

Каждый узел B-дерева, кроме корня, содержит от [math]t - 1[/math] до [math]2t - 1[/math] ключей. Корень содержит от [math]1[/math] до [math]2t - 1[/math] ключей. [math]t[/math] — параметр дерева, не меньший [math]2[/math]. Ключи в каждом узле упорядочены.

Каждый узел дерева, кроме листьев, содержащий ключи [math]k_1, ..., k_n[/math], имеет [math]n + 1[/math] сына. [math]i[/math]-й сын содержит ключи из интервала [math](k_{i - 1}; k_i), k_0 = -\infty, k_{n + 1} = \infty[/math].

Назначение

B-деревья используются для хранения информации на жёстком диске. Время произвольного доступа к жёсткому диску очень велико, поэтому важно уменьшить количество узлов, просматриваемых при каждой операции, то есть высоту дерева, что достигается путём высокой ветвистости.

Поиск ключа

Если ключ содержится в текущем узле, возвращаем его. Иначе определяем интервал и переходим к соответствующему сыну. Повторяем пока ключ не найден или не дошли до листа.

Добавление ключа

Ищем лист, в который можно добавить ключ, совершая проход от корня к листьям. Если найденный узел не заполнен, добавляем в него ключ. Иначе разбиваем узел на два узла, в первый добавляем первые [math]t - 1[/math] ключей, во второй — последние [math]t - 1[/math] ключей. Добавляем ключ в один из этих узлов. Оставшийся средний элемент добавляем в узел родителя, если он заполнен — повторяем пока не встретим не заполненный узел или не дойдем до корня. В последнем случае корень разбивается на два узла и высота дерева увеличивается.

Удаление ключа

1. Находим узел, содержащий ключ, который необходимо удалить.
2. Если узел является листом и корнем одновременно, удаляем из него ключ.
3. Если узел является листом, удаляем из него ключ.
   1. Если в узле осталось меньше [math]t - 1[/math] ключей.
      1. Если у узла есть следующий брат и в нем не менее [math]t[/math] ключей, добавляем в узел ключ из родителя, находящийся между ним и следующим сыном, а на его место ставим первый ключ брата.
      2. Если у узла есть предыдущий брат и в нем не менее [math]t[/math] ключей, добавляем в узел ключ из родителя, находящийся между ним и предыдущим сыном, а на его место ставим последний ключ брата.
      3. Если у братьев меньше [math]t[/math] ключей, объединяем узел с предыдущим или следующим братом и добавляем в получившийся узел ключ из родителя, разделявший узлы. Если у родителя осталось менее [math]t - 1[/math] ключей и родитель не является корнем, переходим к пункту 3.1.
4. Если узел не является листом, удаляем из него ключ, а на его место ставим