152
правки
Изменения
Нет описания правки
По доказанному ранее, для <tex>\mathcal{F}(\overline{b}) - \mathcal{F}(\overline{a}) \in \mathbb{R}^m </tex> существует линейный непрерывный функционал <tex>\varphi : \varphi(\mathcal{F}(\overline{a}) - \mathcal{F}(\overline{b})) = \left|\left|\mathcal{F}(\overline{a}) - \mathcal{F}(\overline{b})\right|\right|, \quad \|\varphi\| = 1</tex>
Докажем, что <tex> \varphi(x + = \varphi'</tex>. Так как <tex>\Delta x) varphi</tex> {{--- }} линейный оператор, то <tex>\varphi(\bar x) = A\varphi(x_1, x_2, \Delta xldots, x_n) + = \alphasum\limits_{k=1}^n a_k x_k</tex>. То есть, оператор <tex>\varphi</tex> можно представить как строку <tex>(a_1, a_2, \Delta xldots, a_n) \| x \| </tex>.
Рассмотрим <tex> \varphi(x) + \varphi(\Delta x) - \varphi(x) = \varphi(\Delta x) = A(\Delta x) + \alpha(\Delta x) \| x \| '</tex> При . Построим матрицу Якоби для производной. <tex> \Delta x varphi' = (\frac{\partial f}{\to 0 </tex> partial x_1}, получаем <tex> \varphi(frac{\Delta x) = A(partial f}{\Delta x) </tex>partial x_2}, где A - производная\ldots, то есть <tex> \varphi' = frac{\partial f}{\varphi partial x_n} )</tex>.
Посчитаем первую координату производной <tex>\frac{\partial f}{\partial x_1} = \frac{\partial}{\partial x_1} \sum\limits_{k=1}^n a_k x_k = \sum\limits_{k=1}^n \frac{a_k \partial x_k}{x_1} = a_1 \frac{\partial x_1}{\partial x_1} = a_1</tex>. Мы получили полное благорастворение! Первая координата оператора и его производной совпали. Аналогично совпадают остальные координаты. Значит, <tex>\varphi = \varphi'</tex>.
<tex>g(t) = \varphi(\mathcal{F}(\overline{a} + t(\overline{b} - \overline{a}))), \quad t \in [0, 1]</tex>
