Оператор замыкания для матроидов

Определение:

[math]M =\; \langle X,I \rangle[/math] - матроид. Тогда замыкание (closure) множества [math]A \subset X[/math] - это множество [math]\langle A \rangle \subset X[/math] такое, что [math]\langle A \rangle = A \cup \mathcal {f} x\; |\; \exists B \subset A : B \in I ,\; B \cup x \notin I \mathcal {g}[/math]

Лемма:

[math]M =\; \langle X,I \rangle[/math] - матроид, [math]A \subset X[/math]. Тогда [math]r(A) = r(\langle A \rangle),[/math] где [math]r[/math] - ранг.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Пусть существуют такие множества [math]B, C \in I: B \subset A, C \subset \langle A \rangle, |B| = r(A) \lt r(\langle A \rangle) = |C|.[/math] Тогда по аксиоме замен [math]\exists p \in C \setminus B : B \cup p \in I.[/math] Так как [math]B[/math] - максимально, то [math]p \in \langle A \rangle \setminus A.[/math] По определению замыкания существует такое множество [math]D \subset A: D \in I, D\cup p \notin I.[/math] В силу аксиомы наследования можно считать, что [math]|D| = |B|.[/math] Тогда [math]r(A) = |D| \lt |B \cup p|.[/math] По аксиоме замены существует [math]q \in (B \cup p)\setminus D : D \cup q \in I.[/math] Если [math]q \in B,[/math] то [math](D \cup q) \subset A[/math] (противоречит максимальности множества [math]D[/math]). Если [math]q = p,[/math] то [math](D \cup p) \in I[/math] (противоречит выбору множества [math]D[/math]).

[math]\triangleleft[/math]

Теорема:

Оператор замыкания для матроидов обладает следующими свойствами: [math]A \subset B \Rightarrow \langle A \rangle \subset \langle B \rangle[/math] [math]q \notin \langle A \rangle,\; q \in \langle A \cup p \rangle \Rightarrow p \in \langle A \cup q \rangle[/math] [math]\langle \langle A \rangle \rangle = \langle A \rangle [/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math]x \in \langle A \rangle.[/math] Тогда по определению оператора замыкания [math]\exists C \in I, C \subset A : C \cup x \notin I.[/math] Но [math]C \subset B,[/math] поэтому [math]x \in \langle B \rangle.[/math] Ч.т.д. Так как [math]q \in \langle A \cup p \rangle [/math] и [math]q \notin \langle A \rangle,[/math] то существует независимое множество [math]B : B \subset A \cup p, B \cup q \notin I.[/math] Так как [math]q \notin \langle A \rangle,[/math] то [math]p \in B, (B \setminus p)\cup q \in I.[/math] Тогда [math]((B \setminus p)\cup q) \cup p \notin I,[/math] то есть [math]p \in \langle A \cup q \rangle.[/math] Пусть [math]\exists p \in \langle \langle A \rangle \rangle \setminus \langle A \rangle.[/math] Возьмем максимальное по мощности множество [math]B \in I : B \subset A.[/math] Так как [math]p \notin \langle A \rangle,[/math] то по определению замыкания [math]B \cup p \in I.[/math] Следовательно, [math]r(\langle A \rangle) = r(\langle \langle A \rangle \rangle) \ge |B \cup p| = r(A) + 1 = r(\langle A \rangle) + 1,[/math] что невозможно.

[math]\triangleleft[/math]

Литература

Асанов М. О., Баранский В. А., Расин В. В. - Дискретная математика: Графы, матроиды, алгоритмы. ISBN 978-5-8114-1068-2