271
правка
Изменения
Нет описания правки
Пусть <tex>\ S = \{i|e_i = u_1 u_{i+1} \in E(G)\} </tex>. <br>
Пусть <tex>\ T = \{i|f_i = u_i u_n \in E(G)\} </tex>. <br>
<tex>\ S \cap T = \varnothing </tex>, иначе в графе <tex> G </tex> есть гамильтонов цикл. Пусть j z <tex> \in S \cap T </tex>. Тогда получим гамильтонов цикл графа <tex> G </tex>: <tex>\ u_1 - u_{jz+1} - u_{jz+2} - ... - u_n - u_j u_z - u_{jz-1} - ... - u_1 </tex>.
Из определений <tex>\ S </tex> и <tex>\ T </tex> следует, что <tex>\ S \cup T \subseteq \{1, 2, ..., n - 1 \} </tex> , поэтому <tex> 2\deg u \le \deg u + \deg v = |S| + |T| = |S \cup T| < n </tex>, то есть <tex>\deg u < n/2 </tex>. <br>
Так как <tex>\ S \cap T = \varnothing </tex>, ни одна вершина <tex>\ u_j </tex> не смежна с <tex>\ v = u_n </tex> (для <tex>\ j \in S </tex>). В силу выбора <tex> u </tex> и <tex> v </tex>, получим, что <tex>\deg u_j \le \deg u </tex>. Положим, что <tex>\ k = \deg u </tex>.
Исходя из условия <tex>\ (*) </tex>, получаем: <tex>\ d_{n-k} \ge n-k </tex>. <br>
В силу второй леммы, имеется по крайней мере <tex>\ k+1 </tex> вершин, степень которых не меньше <tex>\ n-k </tex>. <br>
Так как <tex>\ k = \deg u </tex>, то вершина <tex>\ u </tex> может быть смежна не больше, чем максимум с <tex>\ k </tex> из этих <tex>\ k+1 </tex> вершин. Значит существует вершина <tex>\ w </tex>, не являющаяся смежной с <tex>\ u </tex> и для которой <tex>\deg w \ge n-k </tex>. Тогда получим, что <tex>\deg u + \deg w \ge k + (n - k) = n > \deg u + \deg v </tex>, но это противоречит выбору <tex>\ u </tex> и <tex>\ v </tex>. <br>
}}
