Антисимметричное отношение — различия между версиями
| Строка 1: | Строка 1: | ||
| − | Антисимметрия - одно из важнейших свойств бинарных отношений на множестве. | + | Антисимметрия {{---}} одно из важнейших свойств бинарных отношений на множестве. |
== Основные определения == | == Основные определения == | ||
| Строка 5: | Строка 5: | ||
{{Определение | {{Определение | ||
|definition = | |definition = | ||
| − | [[Бинарное отношение]] <tex>R</tex> на множестве <tex>X</tex> называется '''антисимметричным''', если для любых элементов <tex>a</tex> и <tex>b</tex> множества <tex>X</tex> из выполнения отношений <tex>(aRb)</tex> и <tex>(bRa)</tex> следует равенство <tex>a</tex> и <tex>b</tex>. | + | [[Бинарное отношение]] <tex dpi=180>R</tex> на множестве <tex dpi=180>X</tex> называется '''антисимметричным''', если для любых элементов <tex dpi=180 dpi=180>a</tex> и <tex dpi=180>b</tex> множества <tex dpi=180>X</tex> из выполнения отношений <tex dpi=180>(aRb)</tex> и <tex dpi=180>(bRa)</tex> следует равенство <tex dpi=180>a</tex> и <tex dpi=180>b</tex>. |
}} | }} | ||
| − | :<tex>\forall a, b \in X,\ R(a,b) \wedge R(b,a) \; \Rightarrow \; a = b</tex> | + | :<tex dpi=180>\forall a, b \in X,\ R(a,b) \wedge R(b,a) \; \Rightarrow \; a = b</tex> |
Или эквивалентное | Или эквивалентное | ||
{{Определение | {{Определение | ||
|definition = | |definition = | ||
| − | Бинарное отношение <tex>R</tex> на множестве <tex>X</tex> называется '''антисимметричным''', если для любых неравных элементов <tex>a</tex> и <tex>b</tex> множества <tex>X</tex> из выполнения отношения <tex>(aRb)</tex> следует невыполнение отношения <tex>(bRa)</tex>. | + | Бинарное отношение <tex dpi=180>R</tex> на множестве <tex dpi=180>X</tex> называется '''антисимметричным''', если для любых неравных элементов <tex dpi=180>a</tex> и <tex dpi=180>b</tex> множества <tex dpi=180>X</tex> из выполнения отношения <tex dpi=180>(aRb)</tex> следует невыполнение отношения <tex dpi=180>(bRa)</tex>. |
}} | }} | ||
| − | :<tex>\forall a, b \in X,\ R(a,b) \wedge a \ne b \Rightarrow \lnot R(b,a)</tex> | + | :<tex dpi=180>\forall a, b \in X,\ R(a,b) \wedge a \ne b \Rightarrow \lnot R(b,a)</tex> |
| − | Определение антисимметричного отношения как <tex> (aRb) \Rightarrow \neg(bRa) </tex> является избыточным (и потому неверным), поскольку из такого определения также следует [[Рефлексивное_отношение| антирефлексивность]] R. | + | Определение антисимметричного отношения как <tex dpi=180> (aRb) \Rightarrow \neg(bRa) </tex> является избыточным (и потому неверным), поскольку из такого определения также следует [[Рефлексивное_отношение| антирефлексивность]] R. |
Антисимметричность отношения не исключает симметричности. Существуют бинарные отношения: | Антисимметричность отношения не исключает симметричности. Существуют бинарные отношения: | ||
| Строка 26: | Строка 26: | ||
{{Определение | {{Определение | ||
|definition = | |definition = | ||
| − | [[Бинарное отношение]] <tex>R</tex> на множестве <tex>X</tex> называется '''асимметричным''', если для | + | [[Бинарное отношение]] <tex dpi=180>R</tex> на множестве <tex dpi=180>X</tex> называется '''асимметричным''', если для любых элементов <tex dpi=180 dpi=180>a</tex> и <tex dpi=180>b</tex> множества <tex dpi=180>X</tex> одновременное выполнение отношений <tex dpi=180>a R b</tex> и <tex dpi=180>b R a</tex> невозможно. |
}} | }} | ||
| − | Заметим, что антисимметричное отношение частный случай асимметричного. | + | Заметим, что антисимметричное отношение {{---}} частный случай асимметричного. |
== Примеры антисимметричных отношений == | == Примеры антисимметричных отношений == | ||
| Строка 36: | Строка 36: | ||
== Свойства антисимметричного отношения == | == Свойства антисимметричного отношения == | ||
| − | Если <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - некоторые антисимметричные отношения, то антисимметричными также являются отношения: | + | Если <tex dpi=180>a</tex> и <tex dpi=180>b</tex> - некоторые антисимметричные отношения, то антисимметричными также являются отношения: |
| − | #<tex>a\cap b</tex> | + | #<tex dpi=180>a\cap b</tex> |
| − | #<tex>a^{-1}</tex> | + | #<tex dpi=180>a^{-1}</tex> |
| − | #<tex>b^{-1}</tex> | + | #<tex dpi=180>b^{-1}</tex> |
==См. также== | ==См. также== | ||
| + | * [[Определение отношения]] | ||
* [[Бинарное отношение]] | * [[Бинарное отношение]] | ||
* [[Симметричное отношение]] | * [[Симметричное отношение]] | ||
Версия 01:55, 16 октября 2011
Антисимметрия — одно из важнейших свойств бинарных отношений на множестве.
Содержание
Основные определения
| Определение: |
| Бинарное отношение на множестве называется антисимметричным, если для любых элементов и множества из выполнения отношений и следует равенство и . |
Или эквивалентное
| Определение: |
| Бинарное отношение на множестве называется антисимметричным, если для любых неравных элементов и множества из выполнения отношения следует невыполнение отношения . |
Определение антисимметричного отношения как является избыточным (и потому неверным), поскольку из такого определения также следует антирефлексивность R.
Антисимметричность отношения не исключает симметричности. Существуют бинарные отношения:
- одновременно симметричные и антисимметричные (отношение равенства);
- ни симметричные, ни антисимметричные;
- симметричные, но не антисимметричные;
- антисимметричные, но не симметричные ("меньше или равно", "больше или равно");
Следует различать антисимметричное и асимметричное бинарные отношения.
| Определение: |
| Бинарное отношение на множестве называется асимметричным, если для любых элементов и множества одновременное выполнение отношений и невозможно. |
Заметим, что антисимметричное отношение — частный случай асимметричного.
Примеры антисимметричных отношений
Примерами антисимметричных отношений являются, по определению, все отношения полного и частичного порядка( и другие).
Свойства антисимметричного отношения
Если и - некоторые антисимметричные отношения, то антисимметричными также являются отношения:
