Представление вещественных чисел — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м
(Подправил разноцветные таблицы)
Строка 1: Строка 1:
−
Вещественные числа обычно представляются в виде чисел с плавающей запятой. Числа с плавающей запятой — один из возможных способов предсталения действительных чисел, который является компромиссом между точностью и диапазоном принимаемых значений, его можно считать аналогом экспоненциальной записи в памяти компьютера.
+
Вещественные числа обычно представляются в виде чисел с плавающей запятой. Числа с плавающей запятой — один из возможных способов предсталения действительных чисел, который является компромиссом между точностью и диапазоном принимаемых значений, его можно считать аналогом экспоненциальной записи чисел, но только в памяти компьютера.
  
−
Число с плавающей запятой состоит из набора отдельных двоичных разрядов, условно разделенных на так называемые знак, порядок и мантиссу. Вот пример такого числа из 16 двоичных разрядов:
+
Число с плавающей запятой состоит из набора отдельных двоичных разрядов, условно разделенных на так называемые знак, порядок и мантиссу. В наиболее распространённом формате (стандарт IEEE 754) число с плавающей запятой представляется в виде набора битов, часть из которых кодирует собой мантиссу числа, другая часть — показатель степени, и ещё один бит используется для указания знака числа, 0 - если число положительное, 1 - если число отрицательное. Вот пример такого числа из 16 двоичных разрядов:
−
{|class="wikitable"  
+
{|class="wikitable" style="border-collapse: collapse; border: none"
 
|-
 
|-
 
!colspan=5 style="background-color: powderblue; border: thin solid black; border-bottom: none"|Знак
 
!colspan=5 style="background-color: powderblue; border: thin solid black; border-bottom: none"|Знак
Строка 28: Строка 28:
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
|-
 
|-
−
|colspan=3 style="border: none; border-left: 1px solid gray; text-align: left"|15
+
|style="border: none"|
 +
|colspan=2 style="border: none; border-left: 1px solid gray; text-align: left"|14
 
|colspan=3 style="border: none; border-right: 1px solid gray; text-align: right"|10
 
|colspan=3 style="border: none; border-right: 1px solid gray; text-align: right"|10
 
|colspan=5 style="border: none; border-left: 1px solid gray; text-align: left"|9
 
|colspan=5 style="border: none; border-left: 1px solid gray; text-align: left"|9
Строка 44: Строка 45:
 
'''Плавающая запятая''' — форма представления дробных чисел, в которой число хранится в форме мантиссы и показателя степени.
 
'''Плавающая запятая''' — форма представления дробных чисел, в которой число хранится в форме мантиссы и показателя степени.
 
}}
 
}}
−
При этом лишь некоторые из вещественных чисел могут быть представлены в памяти компьютера точным значением, в то время как остальные числа представляются приближёнными значениями.
+
При этом лишь некоторые из вещественных чисел могут быть представлены в памяти компьютера точным значением, в то время как остальные числа представляются приближёнными значениями. Попробуйте, скажем, перевести число <tex>0.2</tex> в двоичную систему счисления - получится бесконечная запись <tex>0,(0011)</tex>
  
−
В наиболее распространённом формате число с плавающей запятой представляется в виде последовательности битов, часть из которых кодирует собой мантиссу числа, другая часть — показатель степени, и ещё один бит используется для указания знака числа, 0 - если число положительное, 1 - если число отрицательное.
 
  
 
=== Нормальная форма и нормализованная форма ===
 
=== Нормальная форма и нормализованная форма ===
  
 
'''Нормальной формой''' числа с плавающей запятой называется такая форма, в которой мантисса (без учёта знака) в десятичной системе находится на полуинтервале [0; 1). Такая форма записи имеет недостаток: некоторые числа записываются неоднозначно (например, 0,0001 можно записать в 4 формах — 0,0001×10<sup>0</sup>, 0,001×10<sup>−1</sup>, 0,01×10<sup>−2</sup>, 0,1×10<sup>−3</sup>), поэтому распространена также другая форма записи — '''нормализованная''', в которой мантисса десятичного числа принимает значения от 1 (включительно) до 10 (не включительно), а мантисса двоичного числа принимает значения от 1 (включительно) до 2 (не включительно). То есть в мантиссе слева от запятой до применения порядка находится ровно один знак. В такой форме любое число (кроме 0) записывается единственным образом. Ноль же представить таким образом невозможно, поэтому стандарт предусматривает специальную последовательность битов для задания числа 0 (а заодно и некоторых других полезных чисел, таких как <tex>-\infty</tex> и <tex>+\infty</tex>).
 
'''Нормальной формой''' числа с плавающей запятой называется такая форма, в которой мантисса (без учёта знака) в десятичной системе находится на полуинтервале [0; 1). Такая форма записи имеет недостаток: некоторые числа записываются неоднозначно (например, 0,0001 можно записать в 4 формах — 0,0001×10<sup>0</sup>, 0,001×10<sup>−1</sup>, 0,01×10<sup>−2</sup>, 0,1×10<sup>−3</sup>), поэтому распространена также другая форма записи — '''нормализованная''', в которой мантисса десятичного числа принимает значения от 1 (включительно) до 10 (не включительно), а мантисса двоичного числа принимает значения от 1 (включительно) до 2 (не включительно). То есть в мантиссе слева от запятой до применения порядка находится ровно один знак. В такой форме любое число (кроме 0) записывается единственным образом. Ноль же представить таким образом невозможно, поэтому стандарт предусматривает специальную последовательность битов для задания числа 0 (а заодно и некоторых других полезных чисел, таких как <tex>-\infty</tex> и <tex>+\infty</tex>).
−
Так как старший двоичный разряд (целая часть) мантиссы двоичного числа в нормализованном виде всегда равен «1», то его можно не записывать, сэкономив таким образом один бит, что и используется в стандарте IEEE 754. В позиционных системах счисления с основанием большим, чем 2 (в троичной, четверичной и др.), этого замечательного свойства нет.
+
Так как старший двоичный разряд (целая часть) мантиссы двоичного числа в нормализованном виде всегда равен «1», то его можно не записывать, сэкономив таким образом один бит, что и используется в стандарте IEEE 754. В позиционных системах счисления с основанием большим, чем 2 (в троичной, четверичной и др.), этого замечательного свойства нет (ведь целая часть там может быть не только единицей).
−
{|class="wikitable"  
+
{|class="wikitable" style="border-collapse: collapse; border: none"
 
|-
 
|-
 
!colspan=5 style="background-color: powderblue; border: thin solid black; border-bottom: none"|Знак
 
!colspan=5 style="background-color: powderblue; border: thin solid black; border-bottom: none"|Знак
 
|-
 
|-
 
!style="background-color: powderblue; border: thin solid black; border-top: none"|
 
!style="background-color: powderblue; border: thin solid black; border-top: none"|
−
!colspan=5 style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|Экспо-<br />нента
+
!colspan=5 style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|Порядок
 
!colspan=11 style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|Мантисса
 
!colspan=11 style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|Мантисса
 
|-style="text-align: right"
 
|-style="text-align: right"
Строка 66: Строка 66:
 
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0
−
|1,
+
!style="border: none"|1,
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
Строка 79: Строка 79:
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
|-
 
|-
−
|colspan=3 style="border: none; border-left: 1px solid gray; text-align: left"|15
+
|style="border: none"|
 +
|colspan=2 style="border: none; border-left: 1px solid gray; text-align: left"|14
 
|colspan=3 style="border: none; border-right: 1px solid gray; text-align: right"|10
 
|colspan=3 style="border: none; border-right: 1px solid gray; text-align: right"|10
−
|  
+
|style="border: none"|  
 
|colspan=5 style="border: none; border-left: 1px solid gray; text-align: left"|9
 
|colspan=5 style="border: none; border-left: 1px solid gray; text-align: left"|9
 
|colspan=5 style="border: none; border-right: 1px solid gray; text-align: right"|0
 
|colspan=5 style="border: none; border-right: 1px solid gray; text-align: right"|0
Строка 116: Строка 117:
 
|-
 
|-
 
!style="background-color: powderblue; border: thin solid black; border-top: none"|
 
!style="background-color: powderblue; border: thin solid black; border-top: none"|
−
!colspan=5 style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|Экспо-<br />нента
+
!colspan=5 style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|Порядок
 
!colspan=10 style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|Мантисса
 
!colspan=10 style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|Мантисса
 
|-style="text-align: right"
 
|-style="text-align: right"
Строка 137: Строка 138:
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
|-
 
|-
−
|colspan=4 style="border: none; border-left: 1px solid gray; text-align: left"|15
+
|style="border: none"|
−
|colspan=4 style="border: none; border-right: 1px solid gray; text-align: right"|8
+
|colspan=3 style="border: none; border-left: 1px solid gray; text-align: left"|14
−
|colspan=4 style="border: none; border-left: 1px solid gray; text-align: left"|7
+
|colspan=2 style="border: none; border-right: 1px solid gray; text-align: right"|10
 +
|colspan=6 style="border: none; border-left: 1px solid gray; text-align: left"|9
 
|colspan=4 style="border: none; border-right: 1px solid gray; text-align: right"|0
 
|colspan=4 style="border: none; border-right: 1px solid gray; text-align: right"|0
 
|}
 
|}
Строка 152: Строка 154:
 
|-
 
|-
 
!style="background-color: powderblue; border: thin solid black; border-top: none"|
 
!style="background-color: powderblue; border: thin solid black; border-top: none"|
−
!colspan=8 style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|Экспонента
+
!colspan=8 style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|Порядок (8 бит)
−
!colspan=23 style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|Мантисса
+
!colspan=23 style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|Мантисса (24 бита)
 
|-style="text-align: right"
 
|-style="text-align: right"
 
!style="background-color: powderblue; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: powderblue; border: thin solid black"|0
Строка 192: Строка 194:
 
!style="background-color: transparent; border: none"|
 
!style="background-color: transparent; border: none"|
 
|-
 
|-
−
|colspan=4 style="border: none; border-left: 1px solid gray; text-align: left"|31
+
|style="border: none"|  
−
|colspan=4 style="border: none; border-right: 1px solid gray; text-align: right"|24
+
|colspan=4 style="border: none; border-left: 1px solid gray; text-align: left"|30
−
|colspan=4 style="border: none; border-left: 1px solid gray; text-align: left"|23
+
|colspan=4 style="border: none; border-right: 1px solid gray; text-align: right"|24
−
|colspan=4 style="border: none; border-right: 1px solid gray; text-align: right"|16
+
|colspan=20 style="border: none; border-left: 1px solid gray; text-align: left"|23
−
|colspan=4 style="border: none; border-left: 1px solid gray; text-align: left"|15
+
|colspan=3  style="border: none; border-right: 1px solid gray; text-align: right"|0
−
|colspan=4 style="border: none; border-right: 1px solid gray; text-align: right"|8
 
−
|colspan=4 style="border: none; border-left: 1px solid gray; text-align: left"|7
 
−
|colspan=4 style="border: none; border-right: 1px solid gray; text-align: right"|0
 
 
|}
 
|}
  
Строка 212: Строка 211:
 
|-
 
|-
 
!style="background-color: powderblue; border: thin solid black; border-top: none"|
 
!style="background-color: powderblue; border: thin solid black; border-top: none"|
−
!colspan=11 style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|(11 бит)<br />Экспонента
+
!colspan=11 style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|Порядок<br />(11 бит)
−
!colspan=52 style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|(52 бита)<br />Мантисса
+
!colspan=52 style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|Мантисса<br />(52 бит)
 
|-style="text-align: right"
 
|-style="text-align: right"
 
!style="background-color: powderblue; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: powderblue; border: thin solid black"|0
Строка 287: Строка 286:
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
|-
 
|-
−
|colspan=4 style="border: none; border-left: 1px solid gray; text-align: left"|63
+
|style="border: none"|  
−
|colspan=4 style="border: none; border-right: 1px solid gray; text-align: right"|56
+
|colspan=4 style="border: none; border-left: 1px solid gray; text-align: left"|62
−
|colspan=4 style="border: none; border-left: 1px solid gray; text-align: left"|55
+
|colspan=7  style="border: none; border-right: 1px solid gray; text-align: right"|52
−
|colspan=4 style="border: none; border-right: 1px solid gray; text-align: right"|48
+
|colspan=48 style="border: none; border-left: 1px solid gray; text-align: left"|51
−
|colspan=4 style="border: none; border-left: 1px solid gray; text-align: left"|47
+
|colspan=4 style="border: none; border-right: 1px solid gray; text-align: right"|0
−
|colspan=4 style="border: none; border-right: 1px solid gray; text-align: right"|40
 
−
|colspan=4 style="border: none; border-left: 1px solid gray; text-align: left"|39
 
−
|colspan=4 style="border: none; border-right: 1px solid gray; text-align: right"|32
 
−
|colspan=4 style="border: none; border-left: 1px solid gray; text-align: left"|31
 
−
|colspan=4 style="border: none; border-right: 1px solid gray; text-align: right"|24
 
−
|colspan=4 style="border: none; border-left: 1px solid gray; text-align: left"|23
 
−
|colspan=4 style="border: none; border-right: 1px solid gray; text-align: right"|16
 
−
|colspan=4 style="border: none; border-left: 1px solid gray; text-align: left"|15
 
−
|colspan=4 style="border: none; border-right: 1px solid gray; text-align: right"|8
 
−
|colspan=4 style="border: none; border-left: 1px solid gray; text-align: left"|7
 
−
|colspan=4 style="border: none; border-right: 1px solid gray; text-align: right"|0
 
 
|}
 
|}
  

Версия 01:43, 19 октября 2011

Вещественные числа обычно представляются в виде чисел с плавающей запятой. Числа с плавающей запятой — один из возможных способов предсталения действительных чисел, который является компромиссом между точностью и диапазоном принимаемых значений, его можно считать аналогом экспоненциальной записи чисел, но только в памяти компьютера.

Число с плавающей запятой состоит из набора отдельных двоичных разрядов, условно разделенных на так называемые знак, порядок и мантиссу. В наиболее распространённом формате (стандарт IEEE 754) число с плавающей запятой представляется в виде набора битов, часть из которых кодирует собой мантиссу числа, другая часть — показатель степени, и ещё один бит используется для указания знака числа, 0 - если число положительное, 1 - если число отрицательное. Вот пример такого числа из 16 двоичных разрядов:

Знак
Порядок Мантисса
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
14 10 9 0

Знак - один бит, указывающий знак всего числа с плавающей точкой. Порядок и мантисса — целые числа, которые вместе со знаком дают представление числа с плавающей запятой в следующем виде:

[math](-1)^s \times M \times B^E[/math], где s — знак, B-основание, E — порядок, а M — мантисса.

Порядок также иногда называют экспонентой или просто показателем степени.


Определение:
Плавающая запятая — форма представления дробных чисел, в которой число хранится в форме мантиссы и показателя степени.

При этом лишь некоторые из вещественных чисел могут быть представлены в памяти компьютера точным значением, в то время как остальные числа представляются приближёнными значениями. Попробуйте, скажем, перевести число [math]0.2[/math] в двоичную систему счисления - получится бесконечная запись [math]0,(0011)[/math]


Нормальная форма и нормализованная форма

Нормальной формой числа с плавающей запятой называется такая форма, в которой мантисса (без учёта знака) в десятичной системе находится на полуинтервале [0; 1). Такая форма записи имеет недостаток: некоторые числа записываются неоднозначно (например, 0,0001 можно записать в 4 формах — 0,0001×100, 0,001×10−1, 0,01×10−2, 0,1×10−3), поэтому распространена также другая форма записи — нормализованная, в которой мантисса десятичного числа принимает значения от 1 (включительно) до 10 (не включительно), а мантисса двоичного числа принимает значения от 1 (включительно) до 2 (не включительно). То есть в мантиссе слева от запятой до применения порядка находится ровно один знак. В такой форме любое число (кроме 0) записывается единственным образом. Ноль же представить таким образом невозможно, поэтому стандарт предусматривает специальную последовательность битов для задания числа 0 (а заодно и некоторых других полезных чисел, таких как [math]-\infty[/math] и [math]+\infty[/math]). Так как старший двоичный разряд (целая часть) мантиссы двоичного числа в нормализованном виде всегда равен «1», то его можно не записывать, сэкономив таким образом один бит, что и используется в стандарте IEEE 754. В позиционных системах счисления с основанием большим, чем 2 (в троичной, четверичной и др.), этого замечательного свойства нет (ведь целая часть там может быть не только единицей).

Знак
Порядок Мантисса
0 0 0 0 0 0 1, 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
14 10 9 0

Диапазон чисел, представимых в формате с плавающей запятой

Диапазон чисел, которые можно записать данным способом, зависит от количества бит, отведённых для представления мантиссы и показателя. Пара значений показателя (когда все разряды нули и когда все разряды единицы) зарезервирована для обеспечения возможности представления специальных чисел. К ним относятся ноль, значения NaN (Not a Number, "не число", получается как результат операций типа деления нуля на ноль) и [math]\pm\infty[/math].

Название (IEEE 754)Тип (C)ДиапазонБиты мантиссыБиты
Half precisionНет6,10×10-5..6550410+116
Single precisionfloat3,4×10-38..3,4×103823+132
Double precisiondouble1,7×10-308..1,7×1030852+164
Extended precisionНет, иногда long double3,4×10-4932..3,4×10493264+180

Число половинной точности

Число́ полови́нной то́чности  — компьютерный формат представления чисел, занимающий в памяти половину машинное слова (в случае 32-битного компьютера — 16 бит или 2 байта).

Знак
Порядок Мантисса
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
14 10 9 0

Число одинарной точности

Число́ одина́рной то́чности — компьютерный формат представления чисел, занимающий в памяти одно машинное слово (в случае 32-битного компьютера — 32 бита или 4 байта). Как правило, обозначает формат числа с плавающей точкой стандарта IEEE 754.

Знак
Порядок (8 бит) Мантисса (24 бита)
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
30 24 23 0

Число двойной точности

Число́ двойно́й то́чности — компьютерный формат представления чисел, занимающий в памяти два машинных слова (в случае 32-битного компьютера — 64 бита или 8 байт). Как правило, обозначает формат числа с плавающей запятой стандарта IEEE 754.

Знак
Порядок
(11 бит) 		Мантисса
(52 бит)
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
62 52 51 0

Число четверной точности

Число́ четверно́й то́чности — компьютерный формат представления чисел, занимающий в памяти четыре машинных слова (в случае 32-битного компьютера — 128 бит или 16 байт). Как правило, обозначает формат числа с плавающей запятой binary128 стандарта IEEE 754.

Формат числа четверной точности Бит знака: 1

Длина значения экспоненты: 15

Мантисса: 112

Алгоритм получения представления вещественного числа в памяти ЭВМ

Покажем преобразование действительного числа для представления его в памяти ЭВМ на примере величины типа Double.

Как видно из таблицы, величина это типа занимает в памяти 8 байт. На рисунке ниже показано, как здесь представлены поля мантиссы и порядка (нумерация битов осуществляется справа налево):

SСмещенный порядокМантисса
6362..5251..0

Можно заметить, что старший бит, отведенный под мантиссу, имеет номер 51, т.е. мантисса занимает младшие 52 бита. Черта указывает здесь на положение двоичной запятой. Перед запятой должен стоять бит целой части мантиссы, но поскольку она всегда равна 1, здесь данный бит не требуется и соответствующий разряд отсутствует в памяти (но он подразумевается). Значение порядка хранится здесь не как целое число, представленное в дополнительном коде. Для упрощения вычислений и сравнения действительных чисел значение порядка в ЭВМ хранится в виде смещенного числа, т.е. к настоящему значению порядка перед записью его в память прибавляется смещение. Смещение выбирается так, чтобы минимальному значению порядка соответствовал нуль. Например, для типа Double порядок занимает 11 бит и имеет диапазон от 2-1023 до 21023, поэтому смещение равно 1023(10) = 1111111111(2). Наконец, бит с номером 63 указывает на знак числа.

Таким образом, из вышесказанного вытекает следующий алгоритм для получения представления действительного числа в памяти ЭВМ:

  1. перевести модуль данного числа в двоичную систему счисления;
  2. нормализовать двоичное число, т.е. записать в виде M × 2p, где M &#151; мантисса (ее целая часть равна 1(2)) и p &#151; порядок, записанный в десятичной системе счисления;
  3. прибавить к порядку смещение и перевести смещенный порядок в двоичную систему счисления;
  4. учитывая знак заданного числа (0 &#151; положительное; 1 &#151; отрицательное), выписать его представление в памяти ЭВМ.

Пример. Запишем код числа -312,3125.

  1. Двоичная запись модуля этого числа имеет вид 100111000,0101.
  2. Имеем 100111000,0101 = 1,001110000101 × 28.
  3. Получаем смещенный порядок 8 + 1023 = 1031. Далее имеем 1031(10) = 10000000111(2).
  4. Окончательно
    1100000001110011100001010000000000000000000000000000000000000000
    6362..5251..0

Очевидно, что более компактно полученный код стоит записать следующим образом: C073850000000000(16).

Другой пример иллюстрирует обратный переход от кода действительного числа к самому числу.

Пример. Пусть дан код 3FEC600000000000(16) или

0011111111101100011000000000000000000000000000000000000000000000
6362..5251..0
  1. Прежде всего замечаем, что это код положительного числа, поскольку в разряде с номером 63 записан нуль. Получим порядок этого числа: 01111111110(2) = 1022(10); 1022 - 1023 = -1.
  2. Число имеет вид 1,1100011 × 2-1 или 0,11100011.
  3. Переводом в десятичную систему счисления получаем 0,88671875.


Cсылки

Источник — «http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=Представление_вещественных_чисел&oldid=11389»