Теорема Менгера

Теорема Менгера представляет собой группу теорем, связывающих такие понятия на графах как k-связность и количество непересекающихся путей относительно двух выделенных вершин. Возникают различные варианты очень похожих друг на друга по формулировке теорем в зависимости от того, рассматриваем ли мы ситуацию в ориентированном или неориентированном графе, и подразумеваем ли реберную k-связность и реберно непересекающиеся пути или же вершинную k-связность и вершинно непересекающиеся пути.

Подготовка к доказательству

Для доказательства мы будем пользоваться развитой раннее теорией потоков. Кроме базовых определений нам потребуется понятие остаточной сети (иначе - дополнительной сети), а также теорема Форда-Фалкерсона.

Кроме того потребуется лемма о целочисленности потока, которую сейчас и докажем:

Лемма (о целочисленности потока):

Если пропускные способности всех ребер целочисленные (сеть целочислена), то существует максимальный поток, целочисленный на каждом ребре.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Для доказательства достаточно рассмотреть алгоритм Форда-Фалкерсона для поиска максимального потока. Алгоритм делает примерно следующее (подробней - читай в соответствующей статье): 1. В начале берем какой-нибудь поток за начальный (например, нулевой). 2. В остаточной сети этого потока находим какой-нибудь путь из источника к стоку и увеличиваем поток на пропускную способность этого пути. 3. Повторяем пункт 2 до тех пор, пока находится хоть какой-то путь в остаточной сети. То, что получится в конце, будет максимальным потоком. В случае целочисленной сети достаточно в качестве начального приближения взять нулевой поток, и не трудно видеть, что на каждой итерации (в том числе и последней) этот поток будет оставаться целочисленным, что и докажет требуемое.

[math]\triangleleft[/math]

И, наконец, сделаем немного более осознаным в общем-то и так интуитивно-понятное утверждение:

Утверждение:

Если в сети, где все пропускные способности ребер равны 1, существует целочисленный поток величиной [math]L[/math] то существует и [math]L[/math] реберно непересекающихся путей.

[math]\triangleright[/math]

В начале поймем, что если поток не нулевой, то существует маршрут из [math]u[/math] в [math]v[/math] лежащий только на ребрах с потоком равным 1. В самом деле, если бы такого маршрута не существовало, то можно было бы выделить множество вершин до которых такие маршруты существуют, не включающее [math]u[/math], и по нему построить разрез. Поток через такой разрез, очевидно равен нулю, противоречие ([math]f(S,T)=|f|[/math], смотри первую лемму). Итак, найдем какой-нибудь маршрут из [math]u[/math] в [math]v[/math] лежащий только на ребрах где поток равен 1. Удалив все ребра находящиеся в этом маршруте и оставив все остальное неизменным, придем к целочисленному потоку величиной [math]L-1[/math]. Ясно, что можно повторить тоже самое еще [math]L-1[/math] раз, и, таким образом мы выделим [math]L[/math] реберно непересекающихся маршрутов.

[math]\triangleleft[/math]

Теорема

Теперь сама теорема будет тривиальным следствием. В начале сформулируем и докажем реберную версию для случая ориентированного графа.

Теорема (Менгера о реберной двойственности в ориентированном графе):

Между вершинами [math]u[/math] и [math]v\; \exists L[/math] реберно непересекающихся путей [math]\Leftrightarrow[/math] после удаления [math]\forall L-1[/math] ребер [math]\exists[/math] путь из [math]u[/math] в [math]v[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math]\Leftarrow[/math] Назначим каждому ребру пропускную способность 1. Тогда существует максимальный поток, целочисленный на каждом ребре (по лемме). По теореме Форда-Фалкерсона для такого потока существует разрез с пропускной способностью равной потоку. Удалим в этом разрезе [math]L-1[/math] ребер, и тогда раз [math]u[/math] и [math]v[/math] находятся в разных частях разреза, и [math]\exists[/math] путь из [math]u[/math] в [math]v[/math], то в разрезе останется хотя бы еще одно ребро. Значит пропускная способность разреза и вместе с ним величина потока [math]\geqslant L[/math]. А так как поток целочисленный, то это и означает, что [math]\exists L[/math] реберно непересекающихся путей. [math]\Rightarrow[/math] [math]\exists L[/math] реберно непересекающихся путей, а значит удалив любых [math]L-1[/math] ребер хотя бы один путь останется останется не тронутым (принцип Дирихле). Это и означает [math]\exists[/math] путь из [math]u[/math] в [math]v[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Теорема (Менгера о вершинной двойственности в ориентированном графе):

Между вершинами [math]u[/math] и [math]v\; \exists L[/math] вершинно непересекающихся путей [math]\Leftrightarrow[/math] после удаления [math]\forall L-1[/math] вершин [math]\exists[/math] путь из [math]u[/math] в [math]v[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Разобьем каждую вершину на две таким образом: (все входящие ребра заходят в правую вершину, выходящие - из левой. между двумя новыми вершинами добавляем ребро) Теперь задача практически сведена к первой теореме. Необходимо лишь отметить, что если в старом графе пути вершинно пересекаются, то в новом графе пути необходимо реберно пересекаются и наоборот. Кроме того, предложение "удалить в исходном графе [math]\forall L[/math] вершин" можно заменять на "в новом графе можно удалить [math]\forall L[/math] ребер" (достаточно выбирать вершины на концах этих ребер). Можно заменять и обратно, если учесть, что можно удалять ребра между парой вершин, которые раньше были одним целым.

[math]\triangleleft[/math]

Смотри также

• Теорема Менгера, альтернативное доказательство

Литература

• Ловас Л., Пламмер М. Прикладные задачи теории графов. Теория паросочетаний в математике, физике, химии 1998. 656 с. ISBN 5-03-002517-0 (глава 2.4 стр. 117)