Неравенство Макмиллана

Необходимые определения

Определение:

Алфавит — конечное множество.

Определение:

Символами или буквами называются элементы этого алфавита.

Определение:

Кодовым словом или просто кодом символа называется двоичное слово (Двоичное слово — конечная последовательность нулей и единиц).

Определение:

Кодом для алфавита [math]A[/math] называется функция (таблица) [math]\alpha[/math], которая для каждого символа [math]a[/math] из [math]A[/math] указывает двоичное слово [math]\alpha(a)[/math]. Не требуется, чтобы коды всех символов имели равные длины.

Определение:

Хороший код должен позволять декодирование (восстановление последовательности символов по ее коду). Пусть фиксирован алфавит [math]A[/math] и код [math]\alpha[/math] для этого алфавита. Для каждого слова [math]P[/math] в алфавите [math]A[/math] (то есть для любой конечной последовательности букв алфавита [math]A[/math]) рассмотрим двоичное слово [math]\alpha(P)[/math], которое получается, если записать подряд коды всех букв из [math]P[/math] (без каких-либо разделителей). Код [math]\alpha[/math] называется однозначным, если коды различных слов различны: [math]\alpha(P)\ne\alpha(P')[/math] при [math]P\ne{P'}[/math].

Неравенство Макмиллана

Теорема:

[math] \sum\limits_{i = 1}^{I} 2^{-l_i} \le 1[/math] (где [math]|A| = I[/math] , а [math]l_i[/math] — длины кодовых слов) выполняется не только для любого префиксного кода, но и вообще для любого однозначного кода.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Есть разные способы решить эту задачу, но будет приведено простое и красивое, хотя и несколько загадочное, решение. Пусть имеется однозначный код с [math]k[/math] кодовыми словами [math]P_1,P_2, ..., P_k[/math]. Необходимо доказать, что их длины [math]n_i=|P_i|[/math] удовлетворяют неравенству Крафта—Макмиллана. Вместо нулей и единиц будем использовать [math]a[/math] и [math]b[/math] (из чего составлять коды разницы нет). Запишем формально сумму всех кодовых слов как алгебраическое выражение [math]P_1+P_2+...P_k[/math] (многочлен от [math]a[/math] и [math]b[/math], в котором одночлены записаны как произведения переменных [math]a[/math] и [math]b[/math], без возведения в степень). Теперь (ещё более странное на первый взгляд действие) возведём это в степень [math]N[/math] (произвольное натуральное число) и раскроем скобки, сохраняя порядок переменных (не собирая вместе одинаковые переменные) в одночленах: [math](P_1+P_2+...P_k)^N=[/math] сумма одночленов. Например, для кода со словами [math]0,10,11[/math] (которые теперь записываются как [math]a,ba,bb[/math]) и для [math]N=2[/math] получаем [math](a+ba+bb)^2[/math][math]=[/math] [math]=(a+ba+bb)*(a+ba+bb)=aa+aba+abb+baa+baba+babb+bba+bbba+bbbb.[/math] В этом примере все одночлены в правой части различны (если не переставлять переменные), и это не случайно: так будет для любого однозначного кода. В самом деле, по определению однозначности никакое слово не может быть получено двумя способами при соединении кодовых слов. Теперь подставим [math]a=b=\frac{1}{2}[/math] в наше неравенство (если оно верно для букв, то оно верно и для любых их числовых значений). Слева получится [math](2^{-n_1}+2^{-n_2}+...+2^{-n_i})^N[/math] (в скобке как раз выражение из неравенства Крафта—Макмиллана). Правую часть мы оценим сверху, сгруппировав слова по длинам: имеется не более [math]2^l[/math] слагаемых длины [math]l[/math], каждое из которых равно [math]2^{-l}[/math], и потому слагаемые данной длины в сумме не превосходят единицы, а правая часть не превосходит максимальной длины слагаемых, то есть [math]N*\max(n_i)[/math]. Итак, получаем, что [math](2^{-n_1}+2^{-n_2}+...+2^{-n_i})^N\lt N*\max(n_i)[/math] и это верно при любом [math]N[/math]. Если основание степени в левой части больше единицы, то при больших [math]N[/math] это неравенство нарушится (показательная функция растет быстрее линейной). Поэтому, для однозначного кода выполняется неравенство Крафта—Макмиллана. Что и требовалось доказать.

[math]\triangleleft[/math]

Ссылки

Неравенство Крафта

Литература

А. Шень "Программирование: теоремы и задачи" (Издание четвёртое, Москва, Издательство МЦНМО, 2011) стр. 206 - 210