|
|
| Строка 34: |
Строка 34: |
| | {{Теорема | | {{Теорема |
| | |statement= | | |statement= |
| − | Если между двумя [[Основные определения теории графов|вершинами графа]] существует [[Основные определения теории графов|путь]], то между ними существует простой путь.
| + | <tex> dim(C) = m - n + k </tex> |
| | |proof= | | |proof= |
| − |
| |
| − | === Доказательство построением ===
| |
| − |
| |
| − | Возьмём любой из существующих путей между нужными нам вершинами: <tex>v_0e_1v_1e_2v_2 ... e_nv_n</tex>.
| |
| − |
| |
| − | * Алгоритм:
| |
| − | 1. Для вершины <tex>v_i</tex> найдём момент её последнего вхождения в путь {{---}} <tex>v_j</tex>.
| |
| − | 2. Удалим отрезок пути от <tex>e_{i+1}</tex> до <tex>v_j</tex>, включительно.
| |
| − | Получившаяся последовательность вершин и рёбер графа останется путём от <tex>v_0</tex> до <tex>v_n</tex>, и в нём вершина <tex>v_i</tex> будет содержаться ровно один раз.
| |
| − | Начнём процесс с вершины <tex>v_0</tex> и будем повторять его каждый раз для следующей вершины нового пути, пока не дойдём до последней. По построению, получившийся путь будет содержать каждую из вершин графа не более одного раза, а значит, будет простым.
| |
| − |
| |
| − | === Альтернативное ===
| |
| − | Выберем из всех путей между данными вершинами путь наименьшей длины.
| |
| − |
| |
| − | Предположение:
| |
| − | Пусть он не простой.
| |
| − | Тогда в нём содержатся две одинаковые вершины <tex>v_i = v_j</tex>, <tex>i < j</tex>. Удалим из исходного пути отрезок от <tex>e_{i+1}</tex> до <tex>v_j</tex>, включительно. Конечная последовательность также будет путём от <tex>v_0</tex> до <tex>v_n</tex> и станет короче исходной. Получено противоречие с условием: взятый нами путь оказался не кратчайшим. Значит, предположение неверно, выбранный путь {{---}} простой.
| |
| | }} | | }} |
| | | | |
Версия 04:54, 2 ноября 2011
Определение
Пусть [math] m = |E(G)| [/math], [math] n = |V(G)| [/math], [math] k [/math] — количество компонент связности [math] G [/math].
[math] B^k [/math] — линейное пространство элементами которого являются [math] k [/math]—мерные двоичные вектора и их сложение определено как сложение по модулю [math] 2 [/math].
Рассмотрим матрицу инцидентности [math] G [/math].
Сопоставим ей линейный оператор [math] I : R^m \rightarrow R^n [/math]
| Определение: |
| Циклическое пространство графа — [math] C = Ker(I) [/math] |
| Определение: |
| Обобщенный цикл графа G - элемент линейного пространства [math] C [/math] |
Рассмотрим [math] x \in C [/math].
Рассмотрим граф [math] G_1(V_1,E_1) [/math] где [math] E_1 [/math] — множество ребер, таких что на соответствующих местах вектора [math] x [/math] стоят единиц, а [math] V_1 [/math] — [math] V(G) [/math] .
В силу определения обобщенного цикла [math] \forall v : v \in V_1 ~ deg(v) \equiv 0(mod~2) [/math].
Значит [math] G [/math] можно декомпозировать на несколько реберно непересекающихся простых циклов. Отсюда следует что каждому обобщенному циклу соответствуют ребра которые образуют набор реберно непересекающихся простых циклов.
Если рассмотреть набор реберно непересекающихся простых циклов и взять все ребра принадлежащие этим циклам то им можно сопоставить обобщенный цикл(в соответствующие места поставить [math] 1 [/math] , во все остальные [math] 0 [/math]).
Отсюда следует что [math] C [/math] изоморфно пространству [math] T [/math], элементами которого являются множества ребер из которых можно составить несколько реберно непересекающихся простых циклов.
Размерность линейного пространства обобщенных циклов
Теорема о существовании простого пути в случае существования пути
| Теорема: |
[math] dim(C) = m - n + k [/math] |
Литература
Харари Ф. Теория графов / пер. с англ. — изд. 4-е — М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2009. — с.54. — ISBN 978-5-397-00622-4.
