Полукольца и алгебры

на главную << >>

Полукольцо

Определение:

Пусть [math] X [/math] — некоторое множество, [math] \mathcal R [/math] — совокупность его подмножеств (не обязательно всех). Пара [math] (X, \mathcal R) [/math] называется полукольцом, если: [math] \varnothing \in \mathcal R [/math] [math] A, B \in \mathcal R \Rightarrow A \cap B \in \mathcal R [/math] (замкнутость относительно пересечения) [math] A, B \in \mathcal R, A \subset B \Rightarrow \exists D_1 \dots D_n \dots \in R: B \setminus A = \bigcup\limits_n D_n, D_n \in \mathcal R, D_i \cap D_j = \varnothing [/math] для [math] i \ne j [/math] (далее просто будем говорить, что эти множества дизъюнктны).

Простой пример полукольца: [math] X = \mathbb R, \mathcal R = \{\,[a; b) \mid a, b \in \mathbb R, a \le b\,\} [/math]. Элементы этого полукольца называются ячейками.

Докажем теперь пару полезных утверждений для полуколец.

Утверждение:

Пусть [math] B, A_1, A_2, \ldots, A_n \in \mathcal R [/math]. Тогда [math] B \setminus \bigcup\limits_{j = 1}^{n} A_j = \bigcup\limits_{k} D_k, D_k \in \mathcal R, D_k [/math] дизъюнктны.

[math]\triangleright[/math]

Доказательство ведем индукцией по [math] n [/math]. При [math] n = 1 [/math] получаем в точности третью аксиому полукольца. Пусть теперь утверждение выполнялось для [math] n - 1 [/math] множества. Тогда получаем: [math] B \setminus \bigcup\limits_{j = 1}^{n} A_j = ( B \setminus \bigcup\limits_{j = 1}^{n-1} A_j\ ) \setminus A_n = (\bigcup\limits_{k} D_k) \setminus A_n = \bigcup\limits_{k}(D_k \setminus A_n) = \bigcup\limits_{k}(\bigcup\limits_{j} D_{k_j}) = \bigcup\limits_{l} D_l [/math] Очевидно, множества из получившегося объединения дизъюнктны, как и требуется, поэтому утверждение выполняется для любого [math] n [/math].

[math]\triangleleft[/math]

Утверждение:

Пусть [math] B_1, B_2, \ldots, B_n \in \mathcal R [/math]. Тогда [math] \bigcup\limits_{n} B_n = \bigcup\limits_{k} D_k, D_k \in \mathcal R, D_k[/math] дизъюнктны.

[math]\triangleright[/math]

[math] \bigcup\limits_{n} B_n = B_1 \cup (B_2 \setminus B_1) \cup (B_3 \setminus B_1) \cup \ldots \cup (B_n \setminus B_1) \cup \ldots [/math] По доказанному выше утверждению, это объединение можно записать как: [math] B_1 \cup (\bigcup\limits_{k_2} D_{k_2}) \cup (\bigcup\limits_{k_3} D_{k_3}) \cup \ldots = \bigcup\limits_{l} D_l [/math]

[math]\triangleleft[/math]

Алгебра

Определение:

Пусть [math] X [/math] - некоторое множество, [math] \mathcal A [/math] - совокупность его подмножеств. [math] \mathcal A [/math] - алгебра, если: [math] \varnothing \in \mathcal A [/math] [math] B \in \mathcal A \Rightarrow \overline B = X \setminus B \in \mathcal A [/math] [math] B, C \in \mathcal A \Rightarrow B \cap C \in \mathcal A [/math]

Из данных аксиом следует, что [math] X = \overline \varnothing \in \mathcal A [/math] и [math] B \cup C = \overline {\overline B \cup \overline C} \in \mathcal A [/math], поэтому алгебра замкнута относительно любых конечных теоретико-множественных операций.

Если усилить третью аксиому, потребовав принадлежности [math] \mathcal A [/math] пересечения счетного числа множеств, то получим структуру, называемую σ-алгеброй (сигма-алгебра). Она замкнута относительно теоретико-множественных операций с не более, чем счетным числом объектов.

Очевидно, сигма-алгебры являются частным случаем обычных алгебр, которые, в свою очередь, являются частным случаем полуколец.

на главную << >>