Теорема Кэли

Теорема (Кэли(Cayley), о вложении любой конечной группы в группу перестановок):

Любая конечная группа [math]G[/math] изоморфна некоторой подгруппе группы перестановок (симметрической группе).

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]*[/math] — бинарная операция в группе [math]G[/math]. Рассмотрим некоторый элемент [math]g \in G[/math] и функцию [math]f_g : G \rightarrow G, f_g(x) = g*x[/math]. [math]f_g[/math] — перестановка, так как Для любых [math]x, y[/math] таких, что [math]x \neq y[/math] верно, что [math]g*x \neq g*y[/math] [math]\Rightarrow f_g[/math] — инъекция. Мощность [math]G[/math] — конечна [math]\Rightarrow f_g[/math] — биективно, и является перестановкой. Пусть [math]\circ[/math] — композиция двух перестановок. Если [math]f_g[/math] — перестановка, то [math]f_{g^{-1}}[/math] — обратная перестановка, где [math]g^{-1}[/math] — обратный элемент [math]g[/math], так как [math] (f_{g^{-1}} \circ f_g) (x) = f_{g^{-1}}(f_g (x)) =g^{-1} * g * x = x [/math]. Если [math]e[/math] — нейтральный элемент в группе, то [math]f_e[/math] — тождественная перестановка. Таким образом множество всех функций [math]K = \{f_g : g \in G\}[/math] — подгруппа симметрической группы, так как композиция двух функций из [math]K[/math] не выводит из [math]K[/math], потому что [math](f_a \circ f_b)(x) = f_a(f_b(x)) = a * b * x = f_{a*b}(x) = f_c(x) [/math], где [math]c = a * b [/math], значит [math]f_a \circ f_b \in K[/math] Рассмотрим множество [math]K[/math]. По доказанному выше, оно является подгруппой симметрической группы. Осталось доказать, что [math]G[/math] и [math]K[/math] изоморфны. Для этого рассмотрим функцию [math]T : G \rightarrow K,\, T(x) = f_x[/math]. Заметим, что для всех [math]x \in G \quad(f_g \circ f_h)(x) = f_g(f_h(x)) = g*(h*x) = (g*h)*x = f_{(g*h)}(x)[/math], то есть [math]T(g)\circ T(h) = T(g*h)[/math]. Значит [math]T[/math] — гомоморфизм. [math]T[/math] — инъекция, потому что [math]f_g(x) = f_{g'}(x) \Rightarrow g = f_g(x)*x^{-1} = f_{g'}(x)*x^{-1} = g'[/math]. Сюрьективность [math]T[/math] очевидна из определения [math]K[/math]. То есть [math]T[/math] — гомоморфизм и биекция, а значит изоморфизм [math]G[/math] и [math]K[/math] установлен.

[math]\triangleleft[/math]

Примеры

Тривиальным примером и иллюстрацией для данной теоремы является группа [math] \mathbb Z_3[/math] — группа остатков по модулю 3, с операцией сложения.

Пусть [math]\ \varphi :\mathbb{Z}_3\rightarrow S_3[/math]

[math] \varphi(0)=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 2 \end{bmatrix} [/math]

[math] \varphi(1)=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \end{bmatrix} [/math]

[math] \varphi(2)=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 1 \end{bmatrix} [/math]

Источники

• Cayley's theorem - Wikipedia, the free encyclopedia