Метод четырёх русских для умножения матриц

Постановка задачи

Рассмотрим следующую задачу: «Дано две квадратных матрицы [math]A_{[n \times n]}[/math] и [math]B_{[n \times n]}[/math], состоящие из нулей и единиц. Нужно найти их произведение. При этом, все операции выполняются по модулю [math]2[/math].»

Простое решение

Если мы будем считать произведение матриц [math]C = A \cdot B[/math] по определению([math]c_{i, j} = \sum\limits_{k = 1}^n a_{i,k}b_{k,j}[/math]), то трудоёмкость алгоритма составит [math]O(n^3)[/math] — каждый из [math]n^2[/math] элементов результирующей матрицы [math]C[/math] вычисляется за время, пропорциональное [math]n[/math].

Сейчас будет показано, как немного уменьшить это время.

Сжатие матриц

Для выполнения сжатия матриц выполним следующий предподсчёт : для всех возможных пар двоичных векторов длины [math]k[/math] подсчитаем и запомним их скалярное произведение по модулю [math]2[/math].

Возьмём первую матрицу. разделим каждую её строку на куски размера [math]k[/math]. Для каждого куска определим номер двоичного вектора, который соответствует числам, находящимся на этом куске. Если кусок получился неравным по длине [math]k[/math](последний кусок строки), то будем считать, что в конце в нём идут не влияющие на умножение нули. Получим матрицу [math]A'_{n \times \lceil\frac{n}{k} \rceil}[/math].

Аналогично поступим с матрицей [math]B[/math], вместо строк деля столбцы. Получим матрицу [math]B'_{\lceil\frac nk\rceil\times n}[/math].

Теперь, если вместо произведения матриц [math]A[/math] и [math]B[/math] считать произведение новых матриц [math]A'[/math] и [math]B'[/math], воспользовавшись посчитанными скалярными произведениями, то каждый элемент матрицы [math]C[/math] будет получаться уже за время, пропорциональное [math]\lceil \frac nk \rceil[/math] вместо [math]n[/math], и время произведения матриц сократится с [math]O(n^3)[/math] до [math]O(n^2 \cdot\frac nk) = O(\frac{n^3}{k}) [/math].

Оценка трудоёмкости и выбор k

Оценим трудоёмкость данного алгоритма.

• Предподсчёт скалярных произведений работает за [math]O(2^{2k}k)[/math].
• Создание матриц [math]A'[/math] и [math]B'[/math] — [math]O(n^2)[/math]
• Перемножение полученных матриц — [math]O(\frac{n^3}{k})[/math]

Итого: [math]O(2^{2k}k) + O(\frac{n^3}{k})[/math]. Приведем анализ выбора числа [math]k[/math] для получения оптимальной сложности алгоритма.

В силу возрастания функции [math]f(k) = 2^{2k}k[/math] и убывания функции [math]g(k) = \frac{n^3}{k}[/math] имеем, что сложность будет оптимальна при таком значении [math]k[/math], что [math]f(k) = g(k)[/math]. Прологарифмируем обе части этого равенства:

[math]k \ln 4 + \ln k= 3 \ln n - \ln k[/math]

[math]k = \frac{3 \ln n - 2 \ln k}{\ln 4} [/math]

[math] k = 3 \log_4 n - 2 \log_4 k [/math]

В силу того, что [math] \log_4 k [/math] пренебрежительно мал по сравнению с [math] k [/math] имеем, что [math] k [/math] с точностью до константы равен [math] \log n [/math]

Таким образом, при подстановке [math]k = \log n[/math], получаем итоговую трудоёмкость [math]O(n^2 \log n) + O(\frac{n^3}{\log n}) = O(\frac{n^3}{\log n})[/math]

Код алгоритма

  // Предподсчёт скалярных произведений
  // Пусть precul[I][J] - "скалярное произведение для битовых представлений" чисел I и J
  k = log n
  for I = 0 to 2^k - 1 do
     for J = 0 to 2^k - 1 do {
        Считаем скалярное произведение двоичных векторов, заданных двоичным представлением чисел I и J. 
        Записываем результат в матрицу preculc.
     }
  // Создание сжатых матриц
  m = число (n / k), округленное вверх

  for I = 0 to n - 1 {
     для всех стартовых позиций группы из k элементов start {
        Считаем сумму в горизонтальной группе матрицы A, которая начинается с позиции start, и записываем десятичное значение полученного двоичного представления в A'.
        Считаем сумму в вертикальной группе матрицы B, которая начинается с позиции start, и записываем десятичное значение полученного двоичного представления в B'.
     }
  }
  //Перемножение полученных матриц
  for I = 0 to n - 1 do
     for J = 0 to n - 1 do {
        Считаем произведение I строки A' и J столбца B', пользуясь preculc.
        Записываем полученное значение в матрицу ответа.
     }