Алгоритмы алгебры и теории чисел

Лекция - Основы теории полей

Поля

1. Определение поля и подполя, изоморфизмы полей
2. Примеры полей

• Поле рациональных чисел [math]\mathbb{Q}[/math]
• Поле вычетов по простому модулю [math]\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}[/math]
• Поле рациональных функций [math]\mathbb{Q}(x)[/math]
• Поле [math]\mathbb{Q}(\sqrt{3})[/math]

1. Мультипликативная группа поля
2. Характеристика поля, простые поля, классификация простых полей
3. Поле как линейное пространство над своим подполем
4. Расширения полей

• Присоединение множества элементов к полю
• Простое расширение поля
  • Простое алгебраическое расширение поля
  • Простое трансцедентное расширение поля
• Конечные расширения полей
• Теорема о том, что любое конечное расширение - алгебраическое
• Примеры
  • [math]\mathbb{Q} \subset \mathbb{Q}(\sqrt{3})[/math]
  • [math]\mathbb{R} \subset \mathbb{C} = \mathbb{R}[i][/math]
  • [math]\mathbb{Q} \subset \mathbb{Q}(x)[/math]
  • [math]\mathbb{Q} \subset \mathbb{R}[/math]

1. Поле частных кольца, поле [math]\mathbb{Q}[/math] как поле частных кольца [math]\mathbb{Z}[/math]