Алгоритм масштабирования потока

Определение:

Алгоритм масштабирования потока — алгоритм поиска максимального потока, работающий в предположении, что все пропускные способности рёбер целые, так как они легко представимы в двоичном виде.

Алгоритм

Пусть дан граф [math] G [/math], все ребра которого имеют целочисленную пропускную способность. Обозначим за [math] U [/math] максимальную пропускную способность: [math] U = \max\limits_{(u, v) \in EG} c(u, v) [/math].

Если записать пропускную способность любого ребра в двоичном виде, то длина полученной битовой последовательности не будет превышать [math] \lfloor \log_2 U \rfloor + 1 = n + 1 [/math] бит, а значение пропускной способности определяется формулой: [math] c(u, v) = \sum\limits_{i = 0}^n a_i(u, v) \times 2^n, a_i(u, v) \in \{0, 1\} [/math].

Идея алгоритма заключается в нахождении путей с высокой пропускной способностью в первую очередь, чтобы сразу сильно увеличивать поток по ним, а затем по всем остальным.

Методом Форда-Фалкерсона находим поток [math] f_0 [/math] для графа [math] G_0 [/math] с урезанными пропускными способностями [math] c_0(u, v) = a_n(u, v) [/math]. Добавим следующий бит и находим следующее приближение для графа [math] G_1 [/math] с новыми пропускными способностями [math] c_1(u, v) = 2 a_n(u, v) + a_{n - 1}(u, v) - 2 f_0(u, v) [/math].

После [math] n + 1 [/math] итерации получим ответ к задаче.

Оценка времени работы

Утверждение:

Время работы алгоритма — [math] O(E^2 \log U) [/math].

[math]\triangleright[/math]

Докажем, что время работы каждой итерации — [math] O(E^2) [/math]. Лемма: Время работы первой итерации алгоритма — [math] O(E^2) [/math]. Доказательство: [math]\triangleright[/math] На первом шаге ребра имеют пропускную способность [math] 1 [/math]. Значит, [math] |f_0| \leq V [/math]. Поиск каждого дополнительного пути требует [math] O(E) [/math] времени, а их количество не больше [math] V [/math]. Итоговое время работы первой итерации — [math] O(VE) \leq O(E^2) [/math]. [math]\triangleleft[/math] Лемма: Время работы второй итерации алгоритма — [math] O(E^2) [/math]. Доказательство: [math]\triangleright[/math] Разрез [math] \langle A, \overline{A} \rangle [/math]. Пусть вершина [math] s [/math] — источник графа, вершина [math] t [/math] — сток. Граф [math] G_{f_0} [/math] — несвязен. Обозначим за [math] A [/math] компоненту связности графа, содержащую вершину [math] s [/math]. Тогда [math] t \notin A [/math]. Источник и сток лежат в разных компонентах связности, значит [math] c_{0_{f_0}}(A, \overline{A}) = c_0(A, \overline{A}) - f_0(A, \overline{A}) = 0 [/math]. Следовательно, в графе с пропускными способностями [math] c_1 [/math]: [math] \forall u \in A, v \in \overline{A} \colon c_1(u, v) \leq 1 [/math]. Рассмотрим максимальный поток [math] f'_1 [/math] в графе [math] G_1 [/math]. [math] \langle A, \overline{A} \rangle [/math] — разрез, значит: [math] |f'_1| = f'_1(A, \overline{A}) \leq c(A, \overline{A}) \leq E, f_1 = f_0 + f'_1 [/math]. Пропускная способность каждого дополняющего пути не меньше [math] 1 [/math], а поиск каждого занимает [math] O(E) [/math] времени. Значит, итоговое время работы — [math] O(E^2) [/math]. [math]\triangleleft[/math] Оценка времени работы остальных итераций доказывается аналогично второму случаю. Количество итераций — [math] O(\log U) [/math]. Значит, общее время работы алгоритма — [math] O(E^2 \log U) [/math].

[math]\triangleleft[/math]

Литература

• Olivier Juan, Yuri Boikov: Capacity Scaling for Graph Cuts in Vision
• Algorithm Tutorials. Maximum Flow: Augmenting Path Algorithms Comparison
• Андрей Станкевич: Задача о максимальном потоке