Теорема Форда-Фалкерсона о потоке минимальной стоимости — различия между версиями
Proshev (обсуждение | вклад) |
|||
Строка 3: | Строка 3: | ||
<tex> G </tex> {{---}} сеть с истоком <tex> s </tex> и стоком <tex> t </tex>. | <tex> G </tex> {{---}} сеть с истоком <tex> s </tex> и стоком <tex> t </tex>. | ||
Пусть <tex> f </tex> {{---}} поток минимальной стоимости в сети <tex> G </tex> среди потоков величины <tex> a </tex>. <tex> P </tex> {{---}} путь минимальной стоимости <tex> s \leadsto t</tex> в остаточной сети. | Пусть <tex> f </tex> {{---}} поток минимальной стоимости в сети <tex> G </tex> среди потоков величины <tex> a </tex>. <tex> P </tex> {{---}} путь минимальной стоимости <tex> s \leadsto t</tex> в остаточной сети. | ||
− | Тогда для <tex>\forall \delta : 0 \leq \delta \leq c_f(P)</tex> поток <tex>f + \delta \cdot f_P</tex> {{---}} поток минимальной стоимости среди потоков величины <tex>a + \delta</tex>. | + | Тогда для <tex>\forall \delta : 0 \leq \delta \leq c_f(P)</tex> поток <tex>f + \delta \cdot f_P</tex> {{---}} поток минимальной стоимости среди потоков величины <tex>a + \delta</tex>, где <tex>\delta \cdot f_P</tex> - поток величины <tex>\delta</tex>, проходящий по пути <tex>P</tex>. |
|proof= | |proof= | ||
− | Пусть <tex> g </tex> {{---}} поток минимальной стоимости величины <tex>a + \delta</tex> в <tex>G</tex>. | + | Пусть <tex> g </tex> {{---}} поток минимальной стоимости величины <tex>a + \delta</tex> в <tex>G</tex>. Представим <tex> g = f + f'</tex>, где <tex> f' </tex> - поток в остаточной сети <tex>G_f</tex>. Тогда разность <tex> g - f</tex> будет потоком в сети <tex>G_f</tex> и по [[Лемма о сложении потоков|лемме о сложении потоков]] его величина будет равна <tex>\delta</tex>. |
− | По [[Теорема о декомпозиции|теореме о декомпозиции]] его можно представить как сумму элементарных потоков вдоль путей <tex>P_i : s \leadsto t</tex> и циклов <tex>C_i</tex>. | + | По [[Теорема о декомпозиции|теореме о декомпозиции]] его можно представить как сумму элементарных потоков вдоль путей <tex>P_i : s \leadsto t</tex> и циклов <tex>C_i</tex>. В этом представлении нет отрицательных циклов, иначе прибавление его к <tex> f </tex> даст поток меньшей стоимости. Если есть положительный цикл, то вычтем его из <tex> g </tex> и получим поток меньшей стоимости. Таким образом <tex>p(C_i) = 0</tex> для всех циклов. |
Тогда <tex>p(g - f) = \sum\limits_{P_i} p(P_i)\cdot c_f(P_i) \geq p(P) \cdot \sum\limits_{P_i}c_f(P_i) = p(P) \cdot \delta</tex>. | Тогда <tex>p(g - f) = \sum\limits_{P_i} p(P_i)\cdot c_f(P_i) \geq p(P) \cdot \sum\limits_{P_i}c_f(P_i) = p(P) \cdot \delta</tex>. | ||
− | Тогда <tex>\delta \cdot | + | Тогда <tex>\delta \cdot f_P</tex> {{---}} поток минимальной стоимости среди потоков величины <tex>\delta</tex> в сети <tex>G_f</tex>. Отсюда получаем требуемое. |
}} | }} | ||
[[Категория: Задача о потоке минимальной стоимости]] | [[Категория: Задача о потоке минимальной стоимости]] |
Версия 08:19, 31 декабря 2011
Теорема: |
Пусть Тогда для — поток минимальной стоимости в сети среди потоков величины . — путь минимальной стоимости в остаточной сети. поток — поток минимальной стоимости среди потоков величины , где - поток величины , проходящий по пути . |
Доказательство: |
Пусть лемме о сложении потоков его величина будет равна . — поток минимальной стоимости величины в . Представим , где - поток в остаточной сети . Тогда разность будет потоком в сети и поПо теореме о декомпозиции его можно представить как сумму элементарных потоков вдоль путей и циклов . В этом представлении нет отрицательных циклов, иначе прибавление его к даст поток меньшей стоимости. Если есть положительный цикл, то вычтем его из и получим поток меньшей стоимости. Таким образом для всех циклов. Тогда Тогда . — поток минимальной стоимости среди потоков величины в сети . Отсюда получаем требуемое. |