Пространство L p(E)

[math] (X, \mathcal A, \mu) [/math]

[math] E \subset \mathcal A , p \ge 1 [/math]

[math] L_p(E) = \{f [/math] - измерима на [math] E, \int\limits_E {|f|}^p d \mu \lt + \infty \} [/math], то есть пространство функций, суммируемых с [math] p [/math]й степенью на [math] E [/math]. Измеримость [math] f [/math] на [math] E [/math] принципиальна, так как в общем случае из измеримости [math] |f|^p [/math] не вытекает измеримость [math] f [/math].

Видимо, пример:

[math] E_1 [/math] - не измеримо и содержится в [math] E [/math].

[math] f(x) = \begin{cases} 1, & x \in E \setminus E_1 \\ -1, & x \in E_1 \end{cases} [/math] — не измеримо на [math] E [/math].

[math] E(f(x) \le -1) = E_1 [/math] - нет TODO: что нет? o_O

[math] |f(x)| = 1 [/math] на [math] E [/math] — измерима. Из измеримости модуля не вытекает измеримость функции.

Проверим, что [math] L_p(E) [/math] — измеримое множество.

[math] \int\limits_E |f|^p, \int\limits_E |g|^p \lt + \infty [/math] — следует ли [math] \int\limits_E |\alpha f + \beta g|^p \lt + \infty [/math].

Достаточно(почему?) доказать, что [math] \int\limits_E |f + g|^p \lt + \infty [/math].

[math] |f + g|^p \le ( |f| + |g| )^p [/math]

[math] E_1 = E(|f| \le |g|) [/math]

[math] E_2 = E(|f| \gt |g|) [/math]

[math] E = E_1 \cup E_2 [/math]

[math] \int\limits_E |f + g|^p \le \int\limits_E (|f| + |g|)^p = \int\limits_{E_1} + \int\limits_{E_2} \le \int\limits_{E_1} (2 |g|)^p + \int\limits_{E_2} (2 |f|)^p \le 2^p (\int\limits_{E_1} |f|^p + \int\limits_{E_2} |g|^p) \lt + \infty [/math] , что и требовалось доказать.

Превратим [math] L_p(E) [/math] в нормированное пространство:

[math] ||f||_p = \left( \int\limits_E |f|^p \right)^{1/p} [/math]

[math] ||f||_p = 0 \Leftrightarrow f = 0 [/math] — отождествление функции, совпадают почти всюду.

Свойства интеграла:

[math] ||\alpha f||_p = |\alpha| ||f||_p [/math]

[math] ||f + g||_p \le ||f||_p + ||g||_p [/math]

[math] {\left( \sum (a_i + b_i)^p \right)}^{1/p} \le {\left( \sum a_i^p \right)}^{1/p} + {\left( \sum b_i^p \right)}^{1/p} [/math] — неравенство Минковского. Такое же неравенство можно написать для интеграла и получить нужное.

[math] uv \le \frac1p u^p + \frac1q v^q, \frac1p + \frac1q = 1, p \ge 1, q \ge 1 [/math] — неравенство Юнга.

Подставим [math] u = \frac{|f|}{||f||_p}, v = \frac{|g|}{||g||_p} [/math]:

[math] \frac{|f| |g|}{||f||_p ||g||_q} \le \frac1p \frac{|f|^p}{||f||_p^p} + \frac1q \frac{|g|^q}{||g||_q^q} [/math]

Интегрируем это неравенство по [math] E [/math].

Так как [math] \frac{|f|^p}{||f||_p^p} [/math](аналогично, [math] g [/math] и [math] q [/math]), равны 1, получаем:

[math] \int\limits_E |f| |g| \le ||f||_p ||g||_q [/math] — неравенство Гёльдера.

[math] \int\limits_E {(|f| + |g|)}^p = \int\limits_E {(|f| + |g|)}^{p-1} |f| + \int\limits_E {(|f| + |g|)}^{p-1} |g| \le {( \int\limits_E |f|^p )} ^{1/p} {( \int\limits_E (|f| + |g|)^{WTF???} )}^{\frac1q} + [/math]

[math] q = \frac{p}{p-1} [/math], дальше арифметически получаем неравенство Минковского.

Значит, [math] ||\ ||_p [/math] — норма, [math] L_p(E) [/math] — нормированное пространство, можно определить предел и т.д.

Примечание: должен был возникнуть вопрос — почему [math] p \ge 1 [/math]?

[math] \int\limits_E |f|^p d \mu \lt + \infty [/math] при [math] 0 \lt p \lt 1 [/math].

Тогда не будет работать неравенство Минковского.

[math] L_p(E) [/math] — все равно линейное множество. Надо определить предельный переход не с помощью нормы.(как — третий курс)

[math] f_n \to f \stackrel{def}{\Leftrightarrow} \int\limits_E |f_n - f|^p d \mu \to 0 [/math]

[math] L_p(E) [/math] тогда будет ТВП( TODO: чё??), но не будет локально выпуклым, следовательно, не построим тривиальной линейной функции2.

Полнота нормированного пространства:

[math] f_n \in L_p(E) [/math]

[math] ||f_n - f_m||_p \xrightarrow[n,m \to \infty]{} 0 \stackrel{?}{\Rightarrow} f \in L_p(E): f = \lim\limits_{n \to \infty} f_n [/math].

Обратное всегда верно: [math] ||f_n - f_m||_p \le ||f_n - f||_p + ||f_m - f||_p [/math]

[math] f_n \to f \Rightarrow f_n - f_m \to 0 [/math] — сходимость в себе.

[math] E = [a, b], \lambda [/math] — мера Лебега на [math] E [/math].

[math] \int\limits_a^b f(x) dx [/math] — Риман

[math] \int\limits_{[a, b]} f d \lambda [/math] — Лебег.

[math] \tilde{L_p}(a, b) = \{ f: [a, b] \to \mathbb R : \int\limits_a^b |f|^p dx \lt + \infty \} [/math]

Нормированное пространство, но оно не будет полным.

[math] f_n \in \tilde{L_p}, \int\limits_a^b |f_n - f_m|^p dx \to 0 [/math]

Может не найтись интеграла по Риману функции, которая будет пределом [math] f_n [/math]. Именно поэтому потребовалось распространение интеграла Римана на функции, суммируемые по Лебегу.

Теорема (о полноте):

[math] \forall L_p(E) [/math] — полное.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math] \int\limits_E |f_n - f_m|^p d \mu \to 0 [/math] по условию теоремы. [math] E_{n, m} (\delta) = E(|f_n(x) - f_m(x)| \ge \delta) [/math] — часть [math] E [/math], поэтому [math] \int\limits_{E_{n,m}(\delta)} |f_n - f_m|^p \le \int\limits_E |f_n - f_m|^p [/math] [math] \delta^p \mu E_{n, m} (\delta) \le \int\limits_E |f_n - f_m|^p \to 0, \delta [/math] — фиксирована. Тогда [math] \mu E(|f_n - f_m| \ge \delta) \to 0 [/math]. [math] f_n - f_m \Rightarrow 0, n, m \to \infty [/math] По лемме, которая перед теоремой Риса, утверждалось, что можно выделить [math] f_{n_k} [/math], почти везде стремящуюся к [math] f [/math]. Установим с помощью теоремы Фату, что это — требуемая предельная функция [math] f [/math] в [math] L_p [/math] для [math] E_n [/math]. [math] ||f_n - f_m||_p \to 0 [/math] [math] \forall \varepsilon \gt 0 \exists N: \forall n,m \gt N: \int\limits_E |f_n - f_m|^p d \mu \lt \varepsilon^p [/math] Фиксируем [math] \forall m \gt N [/math] и будем вместо n подставлять [math] n_k \gt N [/math]. [math] f_{n_k}(x) - f_m(x) \to f(x) - f_m(x) [/math] По теореме Фату: [math] \int\limits_E |f - f_m|^p \le \sup\limits_{k: n_k \gt N} \int\limits_E |f_{n_k} - f_m|^p \lt \varepsilon^p [/math] Итак, [math] {\left(\int\limits_E |f - f_m|^p \right)}^{1/p} \lt \varepsilon, m \gt N [/math] Отсюда, [math] f - f_m \in L_p(E) [/math] [math] f = (f - f_m) + f_m [/math] и по линейности [math] f \in L_p(E [/math]). Тогда неравенство можно переписать: [math] ||f_m - f||_p \lt \varepsilon \ \forall m \gt N [/math]. Тогда по определению [math] f = \lim\limits_{m \to \infty} f_m [/math], полнота доказана. Примечание: на этапе выделения [math] f_{n_k} \to f [/math] — измеримая(WUT?) может получиться, что [math] f [/math] — не интегрируема по Риману.

[math]\triangleleft[/math]