Теорема Фубини

Цель — установить формулу

\int\limits_{E \subset \mathbb R^2} f(x_1, x_2) d \lambda_2 - \int\limits_R f \lambda_1 \int\limits_{E(x_1)} f(x_1, x_2) d \lambda_2

E(x_1) — сечение множества E вертикальной прямой, проходящей через точку x_1.

E(x_1) = \{ x_2 \int \mathbbR : (x_1, x_2) \in E \}

Для некоторого x_1 это может быть ф.(???)

Сейчас мы сформулируем и докажем теорему истоком которой является принцип Кавальери. TODO: КАРТИНКА: S(E_2) = \int\limits_a^b = l(E(x_1)) d x_1 . Аналог этой формулы был раньше.

Теорема:

Пусть E \subset \mathbbR^2, \lambda E < + \infty Тогда: 1) \forall x_1 \in \mathbbR : E(x_1) — измеримое множество. 2) \lambda_1(E(x_1)) — измеримая на \mathbbR функция. 3) \lambda_2(E) = \int\limits_{\mathbbR} \lambda_1 (E(x_1)) d x_1

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Такая же схема, как и с формулой меры подграфика функции — от простого к сложному. 1) E = [a, b] \times [c, d] E(x_1) = \begin{cases} [c, d] &, x_1 \in [a, b] \\ \emptyset &, x_1 \notin a, b] \end{cases} \lambda(E(x_1)) = \begin{cases} d - c &, x_1 \in [a, b] \\ 0 &, x_1 \notin [a, b] \end{cases} Кусочно-постоянная функция на оси, суммируемая. \int\limits_{\mathbbR} (E(x_1)) d x_1 = (b - a) * (d - c) = \lambda_2 E Вместро замкнутого прямоугольника(???) можно было смотреть любой прямоугольник, в том числе ячейку. 2) G — открытое множество, \lambda G < + \infty G = \bigcup\limits_n \Delta_n (x_1) , по 1) \Delta_n (x_1) — измеримо, а не более, чем счётное объединение не более, чем счётных измеримно. В силу сигма-аддитивности длины/меры Лебега, \lambda_1(G(x_1)) = \sum\limits_n \lambda_1 (\Delta_n(x_1)) Каждое слагаемое измеримо, поточечный предел измеримой функции измерим, значит, \lambda_1 измеримо по x_1 \int\limits_{\mathbbR} \lambda_1(G(x_1)) dx = (т. Леви) \sum\limits_n \int\limits_{\mathbbR} \lambda_1 (\Delta_n (x_1)) d x_1 = \sum\limits_n \lambda_2 (\Delta_n) = \lambda_2 (G) 3) E — множество типа G_\delta (не более, чем счётное пересечение открытых множеств) E = \bigcap\limits_n G_n — открытое, G_{n+1} \in G_n (E — измеримо) По сигма-аддитивности, \lambda_2 E = \lim\limits_{n \to \infty} \lambda_2 (G_n) E(x_1) = \bigcap\limits_n G_n(x_1) — измеримо для любого x_1 \lambda_1 (E(x_1)) = \lim\limits_{n \to \infty} \lambda_1 (G_n(x_1)) — тоже измеримо(как предел измеримой функции). По теореме Лебега о мажорируемой сходимости: \int\limits_{\mathbbR} \lambda_1 (E(x_1)) d x_1 = \lim\limits_{n \to \infty} \int\limits_{\mathbbR} \lambda_1 (G_n(x_1)) d x_1. \lambda_2 (G_n) \to \lambda_2(E) В том же духе TODO: УПРАЖНЕНИЕ!!! 4) E — нульмерно. E = \bigcap\limits_n G_n — открытое, G_{n+1} \subset G_n 5) E — произведение измеримое O_O E = G \setminus K, E \subset G, G типа G_\delta, K — нульмерно (\lambda_2 K = 0), что и требовалось доказать

[math]\triangleleft[/math]

Лемма (следствие):

на \mathbbR y = f(x) > 0. G(f) — подграфик, измерим. Тогда f — измерима.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

G(f) — измерима. Применяем теорему: E = G(f), E(x_1) = [0, f(x_1)]. По теореме, \lambda_1 E(x_1) — измеримо = f(x_1) — значит, f — измеримая функция.

[math]\triangleleft[/math]

Теорема (Фубини):

Пусть E \subset \mathbbR^2, f: E \to \mathbbR — измерима. \int\limits_E

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

f = f_+ - f_-, по линейности интеграла достаточно рассмотреть f \ge 0. Принцип Кавальери переносится на сечения любой размерности (нам нужны двумерные) z = f(x, y) \ge 0 G(f) = \{ (x, y, z) : (x, y) \in E, 0 \le z \le f(x, y) \} Соответствующий интеграл по x, y есть объем подграфика. Объём мы можем вычислять с помощью принципа Кавальери, создавая сечения плоскостями. // 0yz o_O . Проинтегрировав прощадь сечений, получим объём, равный соответствующему интегралу. Вычисление площади кажлого из сечений тоже может очуществляться через интеграл, воспринимая его, как подграфик функции переменной y при фиксированном x появляется повторный интеграл и само равенство. Осталось записать это формально, базируясь на предыдущих теоремах( TODO: УПРАЖНЕНИЕ!!!).

[math]\triangleleft[/math]