689
правок
Изменения
исправил некоторые опечатки
<tex> \int\limits_{E\subset \mathbb R^2} f(x_1, x_2) </tex> — сечение множества <tex> d \lambda_2 = \int\limits_R d \lambda_1 \int\limits_{E (x_1)} f(x_1, x_2) d \lambda_1 </tex> вертикальной прямой, проходящей через точку <tex> x_1 </tex>.
где <tex> E(x_1) </tex> — сечение множества <tex> E </tex> вертикальной прямой, проходящей через точку <tex> x_1 </tex> (<tex> E(x_1) = \{ x_2 \in \mathbb R : (x_1, x_2) \in E \} </tex>).
Для некоторых <tex> x_1 , E(x_1) </tex> это может быть <tex> \varnothing </tex>пусто.
Сейчас мы сформулируем и докажем теорему , истоком которой является принцип «метод неделимых» Кавальери. {{TODO|t=КАРТИНКА}}: <tex> S(E_2) = \int\limits_a^b l(E(x_1)) d x_1 </tex> . Аналог этой формулы был раньшеуже встречался нам в геометрических приложениях определенного интеграла.
{{Теорема
|proof=
1) <tex> E = [a, b] \times [c, d] </tex>.
<tex> E(x_1) = \begin{cases} [c, d] &, x_1 \in [a, b] \\ \varnothing &, x_1 \notin a, b] \end{cases} </tex> — измеримо.
<tex> \lambda(E(x_1)) = \begin{cases} d - c &, x_1 \in [a, b] \\ 0 &, x_1 \notin [a, b] \end{cases} </tex> Кусочно— кусочно-постоянная функция на оси, суммируемаясуммируема.
<tex> \int\limits_{\mathbb R} \lambda_1 (E(x_1)) d x_1 = (b - a) (d - c) = \lambda_2 E </tex>
2) <tex> G </tex> — открытое множество, <tex> \lambda G < + \infty </tex> .
<tex> G = \bigcup\limits_n \Delta_n (x_1) </tex> , по 1) <tex> \Delta_n (x_1) </tex> — измеримо, а не более, чем счётное объединение измеримых, измеримо.
В силу сигма-аддитивности длины/меры Лебега, <tex> \lambda_1(G(x_1)) = \sum\limits_n \lambda_1 (\Delta_n(x_1)) </tex> .
Каждое слагаемое измеримо, поточечный предел измеримой функции измерим, значит, <tex> \lambda_1 </tex> измеримо по <tex> x_1 </tex>.
<tex> \int\limits_{\mathbb R} \lambda_1(G(x_1)) dx = </tex> (т. Леви) <tex> \sum\limits_n \int\limits_{\mathbb R} \lambda_1 (\Delta_n (x_1)) d x_1 = \sum\limits_n \lambda_2 (\Delta_n) = \lambda_2 (G) </tex>.
3) <tex> E </tex> — множество типа <tex> G_\delta </tex> (не более, чем счётное пересечение открытых множеств).
<tex> E = \bigcap\limits_n G_n </tex> — открытое, <tex> G_{n+1} \subset G_n </tex> (<tex> E </tex> — измеримо).
По сигма-аддитивности, <tex> \lambda_2 E = \lim\limits_{n \to \infty} \lambda_2 (G_n)</tex>. <tex>E(x_1) = \bigcap\limits_n G_n(x_1) </tex> — измеримо для любого <tex> x_1 </tex> .
<tex> \lambda_1 (E(x_1)) = \lim\limits_{n \to \infty} \lambda_1 (G_n(x_1)) </tex> — тоже измеримо(как предел измеримой функции).
<tex> E = \bigcap\limits_n G_n </tex> — открытое, <tex> G_{n+1} \subset G_n </tex>
5) <tex> E </tex> — произведение произвольное измеримое O_Oмножество.
<tex> E = G \setminus K, E \subset G, G </tex> типа <tex> G_\delta, K </tex> — нульмерно (<tex> \lambda_2 K = 0 </tex>), что и требовалось доказать
на <tex> \mathbb R:\ y = f(x) > 0 </tex>. <tex> G(f) </tex> — подграфик, измерим. Тогда <tex> f </tex> — измерима.
|proof=
<tex> G(f) </tex> — измеримаизмерим. Применяем теорему:
<tex> E = G(f), E(x_1) = [0, f(x_1)] </tex>.
<tex> f = f_+ - f_- </tex>, по линейности интеграла достаточно рассмотреть <tex> f \ge 0 </tex>.
Принцип Кавальери был доказан нами(ГДЕ?) для одномерных сечений, но он легко переносится на сечения любой размерности (нам нужны двумерные).
Пусть <tex> z = f(x, y) \ge 0 </tex>.
<tex> G(f) = \{ (x, y, z) : (x, y) \in E, 0 \le z \le f(x, y) \} </tex>
Соответствующий интеграл по <tex> x, y </tex> есть объем подграфика. Объём мы можем вычислять с помощью принципа Кавальери, создавая сечения плоскостями. // , параллельными <tex> 0yz Oyz </tex> o_O . Проинтегрировав прощадь сечений, получим объём, равный соответствующему интегралу. Вычисление площади кажлого из сечений тоже может очуществляться через интегралделаться с помощью интеграла, воспринимая его, как подграфик функции переменной y при фиксированном x . Отсюда появляется повторный интеграл и само равенство. Осталось записать это формально, базируясь на предыдущих теоремах({{TODO|t=УПРАЖНЕНИЕ!!!}}).
}}
[[Мера подграфика|<<]]
[[Категория:Математический анализ 2 курс]]
