Циркуляция потока — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(→‎Решение)
(→‎Решение)
Строка 14: Строка 14:
 
</wikitex>
 
</wikitex>
 
==Решение==
 
==Решение==
−
<wikitex>Для решения этой задачи заменим исходную сеть $G$ на $G'$ следующим образом. Сначала добавим в граф вершины $x$ {{---}} исток и $y$ {{---}} сток. Для каждого ребра $e_i = v_{from} \xrightarrow{l_i, c_i} v_{to}$ добавим ребра $x \xrightarrow{0, l_i} v_{to}$ и $u_{from} \xrightarrow{0, l_i} y$, а также сделаем в ребре $e_i$ изменения: $c_i = c_i - l_i, l_i = 0$.
+
<wikitex>Для решения этой задачи заменим исходную сеть $G$ на $G'$ следующим образом. Сначала добавим в граф вершины $s$ {{---}} исток и $t$ {{---}} сток. Для каждого ребра $e_i = v_{from} \xrightarrow{l_i, c_i} v_{to}$ добавим ребра $s \xrightarrow{0, l_i} v_{to}$ и $u_{from} \xrightarrow{0, l_i} t$, а также сделаем в ребре $e_i$ изменения: $c_i = c_i - l_i, l_i = 0$.
  
 
[[Файл:Циркуляция.png|frame|Рисунок 2. Слева - изначальный граф. Для каждого ребра заданы его нижняя и верхняя пропускные способности. Справа - граф после преобразований ребер.]]
 
[[Файл:Циркуляция.png|frame|Рисунок 2. Слева - изначальный граф. Для каждого ребра заданы его нижняя и верхняя пропускные способности. Справа - граф после преобразований ребер.]]
  
−
Каждое ребро изначального графа заменяется на три новых. Если по ребру $e_i = (v_{from}, v_{to})$ в исходной сети протекает поток $l_i \leqslant f_i \leqslant c_i$, то в новой сети по ребру $(x, v_{to})$ должен течь поток, равный $l_i$, то есть его пропускной способности. Поток, который вытекает из $v_{from}$ по ребру в $G$, заменяется на поток, который протекает по ребрам $(v_{from}, v_{to})$ и $(v_{from}, y)$ (поскольку сумма их пропускных способностей в полученном графе равна $c_i$). Аналогично, для вершины $v_{to}$ суммарный входящий поток не изменился. Таким образом, любой допустимый поток по любому ребру в изначальном графе можно распределить между тремя ребрами в полученном графе. Заметим, что в сети $G'$ все $l_i = 0$, то есть мы имеем обыкновенную сеть.
+
Каждое ребро изначального графа заменяется на три новых. Если по ребру $e_i = (v_{from}, v_{to})$ в исходной сети протекает поток $l_i \leqslant f_i \leqslant c_i$, то в новой сети по ребру $(s, v_{to})$ должен течь поток, равный $l_i$, то есть его пропускной способности. Поток, который вытекает из $v_{from}$ по ребру в $G$, заменяется на поток, который протекает по ребрам $(v_{from}, v_{to})$ и $(v_{from}, t)$ (поскольку сумма их пропускных способностей в полученном графе равна $c_i$). Аналогично, для вершины $v_{to}$ суммарный входящий поток не изменился. Таким образом, любой допустимый поток по любому ребру в изначальном графе можно распределить между тремя ребрами в полученном графе. Заметим, что в сети $G'$ все $l_i = 0$, то есть мы имеем обыкновенную сеть.
  
−
Требовалось найти циркуляцию в исходной сети, а значит проверить существование потока, для которого выполнено равенство <tex>\sum\limits_v f(u,v) = 0</tex> для всех вершин графа. Это равносильно существованию потока между вершинами $x$ и $y$ в сети $G'$, который полностью насытит ребра, исходящие из истока. Действительно, этот поток в исходном графе насытит $i$-ое ребро как минимум на $l_i$, что и является необходимым требованием. Если этот поток существует, то будет выполнено:
+
Требовалось найти циркуляцию в исходной сети, а значит проверить существование потока, для которого выполнено равенство <tex>\sum\limits_v f(u,v) = 0</tex> для всех вершин графа. Это равносильно существованию потока между вершинами $s$ и $t$ в сети $G'$, который полностью насытит ребра, исходящие из истока. Действительно, этот поток в исходном графе насытит $i$-ое ребро как минимум на $l_i$, что и является необходимым требованием. Если этот поток существует, то будет выполнено:
−
* $\sum\limits_v f(u,v)=0,$ где $u \in V'-\{x,y\}, v \in V'$, то есть для всех исходных вершин;
+
* $\sum\limits_v f(u,v)=0,$ где $u \in V'-\{s,t\}, v \in V'$, то есть для всех исходных вершин;
 
* В $G': f_i \leqslant c_i - l_i \Rightarrow 0 \leqslant f_i \leqslant c_i - l_i \Rightarrow l_i \leqslant f_i + l_i \leqslant c_i$, что удовлетворяет всем ограничениям.
 
* В $G': f_i \leqslant c_i - l_i \Rightarrow 0 \leqslant f_i \leqslant c_i - l_i \Rightarrow l_i \leqslant f_i + l_i \leqslant c_i$, что удовлетворяет всем ограничениям.
 
Значит, этот поток и есть циркуляция.  
 
Значит, этот поток и есть циркуляция.  

Версия 08:02, 11 января 2012

<wikitex>==Определение==

Определение:
Циркуляцией называется поток в сети $G(V, E)$ нулевой величины (см. рисунок 1).
Рисунок 1. Пример графа и циркуляции в нем (поток/пропуск.способность)

То есть закон сохранения потока [math]\sum\limits_v f(u,v)=0[/math] должен выполняться для всех вершин графа, а значит нет нужды в истоке и стоке. </wikitex>

Постановка задачи

<wikitex>Рассмотрим сеть $G(V, E)$, в которой про каждое ребро $e_i$ известны величины: $l_i$ — минимальная пропускная способность и $c_i$ — максимальная пропускная способность. Необходимо выяснить, существует ли в этой сети циркуляция, удовлетворяющая требованиям, наложенным на пропускные способности.

Когда все $l_i$ равны $0$, достаточно пустить поток нулевой величины из каждой вершины, что и будет ответом. Поэтому далее в графе будут существовать ребра с положительно нижней пропускной способностью. </wikitex>

Решение

<wikitex>Для решения этой задачи заменим исходную сеть $G$ на $G'$ следующим образом. Сначала добавим в граф вершины $s$ — исток и $t$ — сток. Для каждого ребра $e_i = v_{from} \xrightarrow{l_i, c_i} v_{to}$ добавим ребра $s \xrightarrow{0, l_i} v_{to}$ и $u_{from} \xrightarrow{0, l_i} t$, а также сделаем в ребре $e_i$ изменения: $c_i = c_i - l_i, l_i = 0$.

Рисунок 2. Слева - изначальный граф. Для каждого ребра заданы его нижняя и верхняя пропускные способности. Справа - граф после преобразований ребер.

Каждое ребро изначального графа заменяется на три новых. Если по ребру $e_i = (v_{from}, v_{to})$ в исходной сети протекает поток $l_i \leqslant f_i \leqslant c_i$, то в новой сети по ребру $(s, v_{to})$ должен течь поток, равный $l_i$, то есть его пропускной способности. Поток, который вытекает из $v_{from}$ по ребру в $G$, заменяется на поток, который протекает по ребрам $(v_{from}, v_{to})$ и $(v_{from}, t)$ (поскольку сумма их пропускных способностей в полученном графе равна $c_i$). Аналогично, для вершины $v_{to}$ суммарный входящий поток не изменился. Таким образом, любой допустимый поток по любому ребру в изначальном графе можно распределить между тремя ребрами в полученном графе. Заметим, что в сети $G'$ все $l_i = 0$, то есть мы имеем обыкновенную сеть.

Требовалось найти циркуляцию в исходной сети, а значит проверить существование потока, для которого выполнено равенство [math]\sum\limits_v f(u,v) = 0[/math] для всех вершин графа. Это равносильно существованию потока между вершинами $s$ и $t$ в сети $G'$, который полностью насытит ребра, исходящие из истока. Действительно, этот поток в исходном графе насытит $i$-ое ребро как минимум на $l_i$, что и является необходимым требованием. Если этот поток существует, то будет выполнено:

  • $\sum\limits_v f(u,v)=0,$ где $u \in V'-\{s,t\}, v \in V'$, то есть для всех исходных вершин;
  • В $G': f_i \leqslant c_i - l_i \Rightarrow 0 \leqslant f_i \leqslant c_i - l_i \Rightarrow l_i \leqslant f_i + l_i \leqslant c_i$, что удовлетворяет всем ограничениям.

Значит, этот поток и есть циркуляция.

Запустим в новой сети один из алгоритмов поиска максимального потока. Если он не смог полностью насытить все ребра их истока, то и никакой другой по величине поток этого сделать не сможет, значит, циркуляции нет. Для получения величин потоков вдоль каждого ребра в изначальной сети достаточно прибавить к потокам вдоль ребер в сети $G'$ соответствующие значения минимальной пропускной способности. </wikitex>

Псевдокод

G     // пустой граф, вершины 0 и n + 1 - исток и сток
n, m; // вершин, ребер в исходном графе
edge  // ребро с полями (from, to, min_cap, cap)
Для i = 1 to m
  считать ребро edge
  добавить в граф G ребро (0, edge.to, 0, edge.min_cap)
  добавить в граф G ребро (edge.from, edge.to, 0, edge.cap - edge.min_cap)
  добавить в граф G ребро (edge.from, n + 1, 0, edge.min_cap)
max_flow = наибольший поток в графе G
Для всех ребер, инцидентных истоку
  если для текущего ребра flow < cap 
    циркуляции НЕТ

Источники

Источник — «http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=Циркуляция_потока&oldid=16194»