Задача о двух конвертах

СТАТЬЯ НЕ ЗАКОНЧЕНА! Задача (Парадокс) двух конвертов - известный математический парадокс теории вероятностей.

Формулировок этого парадокса достаточно много. Приведу несколько. Вот самый известный из них.

Определение:

Есть два неразличимых конверта с деньгами. В обоих конвертах находится некая степень двойки денег, причем в одном находится сумма в два раза большая, чем во втором. Величина этой суммы неизвестна. Конверты дают двум игрокам. Каждый из них может открыть свой конверт и пересчитать в нём деньги. После этого игроки должны решить: стоит ли обменять свой конверт на чужой? Оба игрока рассуждают следующим образом. Я вижу в своём конверте сумму X. Если Х = 1, то менять точно выгодно. если Х другой, то в чужом конверте равновероятно может находиться [math] 2X [/math] или [math] X \over 2[/math]. Поэтому, если я поменяю конверт, то у меня в среднем будет [math] \tfrac{(2X + \tfrac{X}{2})}{2} = \tfrac{5}{4} X [/math], т.е. больше, чем сейчас. Значит обмен выгоден. Однако обмен не может быть выгоден обоим игрокам. Где в их рассуждениях кроется ошибка?

В данном рассуждении ошибка кроется в предположении о том, что в другом конверте может равновероятно находится [math] 2X [/math] или [math] X \over 2[/math]. В действительности этого не может быть.

[math]\Box[/math] Предположим от противного, что существует вероятностное распределение [math]f(x)[/math], определенное на степенях двойки так, что [math]f(2^{x_1})[/math] - вероятность того, что в конвертах будут записаны [math]2^{x_1}[/math] и [math]2^{x_1 + 1}[/math], причем значения этой функции на соседних степенях равны. Тогда значения этой функции вообще говоря должны быть равны на всех степенях, т.е. [math]f(x)[/math] постоянна. Но [math]\displaystyle \sum_{i=1}^\infty f(2^i) = 1[/math] (т.к это вероятностное распределение) - противоречие.[math]\blacksquare[/math]

Также есть формулировка парадокса, обходящая данное доказательство.

Действительно, пусть нам дано вероятностное геометрическое распределение