234
правки
Изменения
Нет описания правки
'''Задача (Парадокс) двух конвертов''' — известный математический парадокс теории вероятностей.
Действительно, пусть нам ''дано'' вероятностное геометрическое распределение:
* вероятность выпадения 1 и 2 в конвертах — <tex>(1-q)</tex>
* вероятность выпадения 2 и 4 в конвертах — <tex>(1-q)q</tex>
* вероятность выпадения 4 и 8 в конвертах — <tex>(1-q)q^2</tex>
<tex>\ldots</tex>
* вероятность выпадения <tex>2^i</tex> и <tex>2^{i+1}</tex> в конвертах — <tex>(1-q)q^i</tex>
<tex>\ldots</tex>
тогда сумма всех вероятностей действительно <texdpi='180'>(1-q) \cdot \frac{1}{(1-q)} = 1</tex>
Итак, пусть нам дали конверт с суммой <tex>2^i</tex>. тогда вероятность того, что в другом конверте <tex>2^{i-1} \ </tex> — <texdpi='180'> \ \frac{1}{(1+q)} </tex>, а того, что в другом конверте <tex>2^{i+1} \ </tex> — <texdpi='180'> \ \frac{q}{(1+q)} </tex>
Тогда "в среднем" при обмене мы будем получать <texdpi='180'>\left ( 2^{i-1} \cdot \frac{1}{(1+q)} + 2^{i+1} \cdot \frac{q}{(1+q)} \right ) = 2^i \cdot \left ( \frac{1 + 4q}{2 + 2q} \right ) </tex>.
При <tex>q > \frac{1}{2}</tex> последняя скобка больше единицы. Таким образом "в среднем" мы получим больше, чем <tex>2^i</tex>. Такое же рассуждение справедливо для обоих игроков. В чем же тут ошибка рассуждения?
А между тем ошибка тут психологическая. Ведь что человек понимает под понятием "в среднем"? Это некоторое "среднее значение", при условии, что число экспериментов очень велико. В данной задаче, не меняя конверты, "в среднем" мы заработаем <tex>\infty</tex> денег. А если будем менять конверты, то добавится множитель <texdpi='180'> \left ( \frac{1 + 4q}{2 + 2q} \right )</tex>. Но по правилам математики<texdpi='180'> \infty = \infty \cdot \left ( \frac{1 + 4q}{2 + 2q} \right )</tex>, и никакой ошибки тут нет.
== Еще ==
