Коды Грея для перестановок

<wikitex>

Определения

Определение:

Коды Грея для перестановок — упорядочение перестановок, при котором соседние перестановки отличаются только элементарной транспозицией. Элементарная транспозиция — транспозиция двух соседних элементов.

Примеры кодов Грея для перестановок

$n = 2$	$\{1, 2\}$	$\{2, 1\}$
$n = 3$	$\{1, 2, 3\}$	$\{1, 3, 2\}$	$\{3, 1, 2\}$	$\{3, 2, 1\}$	$\{2, 3, 1\}$	$\{2, 1, 3\}$

Построение кода Грея для перестановок

Будем строить код Грея для длины $n = k$. Предположим, что нам известен код Грея для перестановок длиной $k - 1$. Возьмем первую перестановку из известного нам кода. Она имеет следующий вид: $\{a_1, a_2, a_3, \dots, a_{k-1}\}$

Сначала запишем $k$ в начало этой перестановки, после чего будем двигать его вправо элементарными транспозициями (подчёркнуты пары переставляемых элементов).

• $\{\underline{k, a_1}, a_2, a_3, \dots, a_{k-1}\}$
• $\{a_1, \underline{k, a_2}, a_3, \dots, a_{k-1}\}$
• $\{a_1, a_2, \underline{k, a_3}, \dots, a_{k-1}\}$
• $\{a_1, a_2, a_3, \underline{k, \dots}, a_{k-1}\}$
• $\{a_1, a_2, a_3, \dots, \underline{k, a_{k-1}}\}$
• $\{a_1, a_2, a_3, \dots, a_{k-1}, k\}$

Получим $k$ различных перестановок, отличающихся одной элементарной транспозицией. Возьмем следующую строку из кода Грея для перестановок длиной $n = k - 1$, которая будет выглядеть так (т.к. мы получили, что элемент стоящий на первом месте в перестановке будет "двигаться" вправо, то и во второй перестановке первый элемент "поменяется" со вторым):

$\{a_2, a_1, a_3, \dots, a_{k-1}\}$

Элемент $k$ записываем в конец и начинаем "двигать" его влево:

• $\{a_2, a_1, a_3, \dots, \underline{a_{k-1}, k}\}$
• $\{a_2, a_1, a_3, \underline{\dots, k}, a_{k-1}\}$
• $\{a_2, a_1, \underline{a_3, k}, \dots, a_{k-1}\}$
• $\{a_2, \underline{a_1, k}, a_3, \dots, a_{k-1}\}$
• $\{\underline{a_2, k}, a_1, a_3, \dots, a_{k-1}\}$
• $\{k, a_2, a_1, a_3, \dots, a_{k-1}\}$

Опять получили $k$ различных перестановок, отличающихся в одной элементарной транспозиции. Далее берем третью строку из кода Грея для перестановок длиной $n = k - 1$, записываем в ее начало элемент $k$ и двигаем его вправо, как для первой перестановки и т.д.

Для каждой перестановки длиной $n = k - 1$ (всего их $(k - 1)!$) мы получили $k$ новых перестановок. Итого $k\cdot(k - 1)! = k!$ перестановок. Все они различны, т.к. для любых двух перестановок из нового кода Грея элемент $k$ стоит на разных позициях,а если $k$ стоит на одной и той же позиции, то эти перестановки образованы от разных перестановок длиной $n = k - 1$. Так же все соседние перестановки отличаются ровно в одной элементарной транспозиции (образованные от одной перестановки различны благодаря построению, от разных перестановок — имеют $k$ на одной и той же позиции, но отличаются в одной элементарной транспозиции, т.к. является перестановками в коде Грея для перестановок длиной $n = k - 1$). Таким образом мы получили $k!$ различных перестановок длиной $k$, отличающихся в одной элементарной транспозиции. Алгоритм для построения кодов Грея для перестановок длиной $n$ получен.

Пример применения алгоритма

Рассмотрим код Грея для длины $n = 2$:

• $\{2, 1\}$
• $\{1, 2\}$

Тогда следуя алгоритму полученный код будет выглядеть так (подчёркнуты пары переставляемых элементов):

• $\{\underline{3, 2}, 1\}$ — берем первую перестановку и добавляем в начало тройку
• $\{2, \underline{3, 1}\}$ — двигаем до последней позиции
• $\{\underline{2, 1}, 3\}$
• $\{1, \underline{2, 3}\}$ — берем следующую перестановку и записываем тройку в конец
• $\{\underline{1, 3}, 2\}$ — двигаем в начало
• $\{3, 1, 2\}$

Код Грея получен.

Псевдокод получения Грея

Получаем код Грея рекурсивно, в базовом случае ($n = 1$) возвращаем список из одной перестановки $\{n\}$.

 gray_code(n):
 if n == 1:
   return = [{1}]
 else:
   result = []
   perms = gray_code(n - 1)
   backward = false
   for perm in perms:
     if backward:
     	current = concat(perm, {n})
       result.append(current)
       for (i = n; i > 1; i--):
         swap(current[i - 1], current[i])
         result.append(current)
     else:
       current = concat({n}, perm)
       result.append(current)
       for (i = 1; i < n; i++):
         swap(current[i], current[i + 1])
         result.append(current)
     backward = !backward
   return result

Сведение задачи построения кода Грея для перестановок к графам

Последовательность перестановок, полученная с помощью данного алгоритма имеет интересную интерпретацию. Так, если рассмотреть граф, вершины которого соответствуют всем перестановкам и в котором две вершины, соответствующие перестановкам $f$ и $g$, соединены ребром, если $g$ образуется из $f$ однократной транспозицией соседних элементов, то полученная последовательность является гамильтоновым путем в этом графе.

См. также

• Коды Грея
• Комбинаторные объекты
• Гамильтонов путь

Литература

Романовский, И.В. Дискретный Анализ - Санкт-Петербург 2003 стр. 39-41