Изменения

|definition=Есть два неразличимых конверта с деньгами. В обоих конвертах находится некая сумма степень двойки денег, причем в одном находится сумма в два раза большая, чем во втором. Величина этой суммы неизвестна. Конверты дают двум игрокам. Каждый из них может открыть свой конверт и пересчитать в нём деньги. После этого игроки должны решить: стоит ли обменять свой конверт на чужой? Оба игрока рассуждают следующим образом. Я вижу в своём конверте сумму X. Тогда Если Х = 1, то менять точно выгодно. если Х другой, то в чужом конверте равновероятно может находиться <tex> 2X </tex> или <tex> X \over 2</tex>. Поэтому, если я поменяю конверт, то у меня в среднем будет <tex> \tfrac{(2X + \tfrac{X}{2})}{2} = \tfrac{5}{4} X </tex>, т.е. больше, чем сейчас. Значит обмен выгоден. Однако обмен не может быть выгоден обоим игрокам. Где в их рассуждениях кроется ошибка?

Предположим от противного, что существует вероятностное распределение <tex>p(x)</tex>, определенное на всех положительных числах степенях двойки так, что <tex>p(2^{x_1})</tex> - вероятность того, что в конвертах будут записаны <tex>2^{x_1}</tex> и <tex>2 \cdot ^{x_1+ 1}</tex>, причем <tex>\forall x>0 \ p(x) = p(2x)</tex> (условие равновероятности)значения этой функции на соседних степенях равны.Тогда значения этой функции вообще говоря должны быть равны на всех степенях двойки, т.е. <tex>p(x)</tex> постоянна на них. Но <tex>\displaystyle \sum_{i = 1}^{\infty} p(2^i) \leqslant = 1</tex> (т.к это вероятностное распределение) - противоречие.

Также есть формулировка парадокса, обходящая данное доказательство (именно ее мы разбирали на практике).

Ограничим суммы в конвертах - Действительно, пусть они могут быть только степенями двойки. Также введем нам ''заданноедано'' вероятностное распределение геометрической прогрессией: