Алгоритм Эрли

Алгоритм Эрли позволяет определить, выводится ли данное слово [math]\omega[/math] в данной контекстно-свободной грамматике [math]G[/math].

Вход: КС грамматика [math] G=\langle N,\Sigma, P, S \rangle[/math] и слово [math]\omega[/math].
Выход: [math]true[/math], если [math]\omega[/math] выводится в [math]G[/math]; [math]false[/math] — иначе.

Определения

Определение:

Пусть [math]G = (N, \Sigma, P, S)[/math] — контекстно-свободная грамматика и [math]\omega = a_1 a_2 ... a_n[/math] — входная цепочка из [math]\Sigma^*[/math]. Объект вида [math][A \rightarrow \alpha \cdot \beta, i][/math], где [math]A \rightarrow \alpha \beta [/math] — правило из [math]P[/math] и [math]0 \leqslant i \leqslant n[/math] — позиция в [math]\omega[/math], называется ситуацией, относящейся к цепочке [math]\omega[/math].

Определение:

[math]j[/math]-м списком ситуаций [math]I_j[/math] для входной цепочки [math]\omega = a_1 a_2 ... a_n[/math], где [math]0 \leqslant j \leqslant n[/math], называется множество ситуаций [math]\lbrace [A \rightarrow \alpha \cdot \beta , i] \mid \alpha \Rightarrow^* a_{i+1} ... a_j; \exists \gamma, \delta : S \Rightarrow^* \gamma A \delta, \gamma \Rightarrow^* a_1...a_i \rbrace[/math]. То есть [math]\gamma \alpha [/math] выводит часть [math]\omega[/math] c первого по [math]j[/math]-й символ.

Лемма:

[math](\exists \alpha : [S \rightarrow \alpha \cdot, 0] \in I_n) \Leftrightarrow \omega \in L(G)[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Поскольку [math]S \Rightarrow^* \gamma S \delta[/math] (при [math]\gamma = \delta = \varepsilon[/math]), из определения [math]I_n[/math] получаем, что [math]([S \rightarrow \alpha \cdot, 0] \in I_n) \Leftrightarrow (S \Rightarrow \alpha \Rightarrow^* a_1 ... a_n = \omega)[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Определение:

Последовательность списков ситуаций [math]I_0, I_1, .., I_n[/math] называется списком разбора для входной цепочки [math]\omega[/math].

Алгоритм Эрли

Построим список разбора для [math]\omega[/math] с помощью данного алгоритма и воспользуемся леммой, доказанной выше.

Для простоты добавим новый стартовый вспомогательный нетерминал [math]S'[/math] и правило [math]S' \rightarrow S[/math].

[math]I_0[/math] ∪= [math][S' \rightarrow \cdot S, 0][/math]
useful_loop(0)

for i = 1..n
    for [math][B \rightarrow \alpha \cdot a_{j} \beta, i] \in I_{j-1}[/math]
        [math]I_j[/math] ∪= [math][B \rightarrow \alpha a_{j} \cdot \beta, i][/math] # Правило (1)
    useful_loop(j)

function useful_loop(j):
    for [math][A \rightarrow \alpha \cdot , i] \in I_j[/math]
        for [math][B \rightarrow \gamma \cdot A \beta, k] \in I_{i}[/math]
            [math]I_j[/math] ∪= [math][B \rightarrow \gamma A \cdot \beta, k][/math] # Правило (2)
            
    for [math][A \rightarrow \alpha \cdot B \beta, i] \in I_j[/math]
        for [math]\gamma : (B \rightarrow \gamma) \in P[/math]
            [math]I_j[/math] ∪= [math][B \rightarrow \cdot \gamma, j][/math] # Правило (3)

Корректность алгоритма

Теорема:

[math][A \rightarrow \alpha \cdot \beta, i] \in I_{j} \Leftrightarrow \alpha \Rightarrow^* a_{i+1}...a_{j}[/math] и [math] \mathcal {9} \gamma [/math] и [math] \delta[/math] такие, что [math]S' \Rightarrow^* \gamma A \delta[/math] и [math] \gamma \Rightarrow^* a_1...a_{i}[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math]\Rightarrow[/math] Докажем по индукции. База: для любой ситуации из [math]I_0[/math] [math]\alpha \Rightarrow^* \varepsilon [/math] и [math]S' \Rightarrow^* \gamma A \delta [/math] при [math]\gamma = \varepsilon [/math]. Индукционный переход (и.п.): пусть верно для всех ситуаций из списков [math] I_{i}, i \leqslant j [/math]. Пусть включаем [math][A \rightarrow \alpha \cdot \beta, i] [/math] в [math]I_{j}[/math]. Рассмотрим три случая: 1. Пусть включаем по правилу 1 Тогда [math]\alpha = \alpha' a_{j} , [A \rightarrow \alpha' \cdot a_{j} \beta, i] \in I_{j-1}[/math]. По и.п. [math]\alpha' \Rightarrow^* a_{i+1}...a_{j-1} [/math] и существуют [math]\gamma'[/math] и [math]\delta' [/math] такие, что [math]S' \Rightarrow^* \gamma' A \delta', \gamma' = a_1...a_{i} [/math]. Значит [math] \alpha = \alpha' a_{j} \Rightarrow^* a_{i+1}...a_{j} [/math] и при [math]\gamma = \gamma', \delta = \delta' [/math] для [math][A \rightarrow \alpha \cdot \beta, i][/math] утверждение верно. 2. Пусть включаем по правилу 2 Тогда [math]\alpha = \alpha' B , [A \rightarrow \alpha' \cdot B \beta, k] \in I_{i}[/math] и [math] [B \rightarrow \eta \cdot, i] \in I_{j} [/math]. По и.п. [math]\alpha' \Rightarrow^* a_{k+1}...a_{i}, \eta \Rightarrow^* a_{i+1}...a_{j} [/math], откуда [math]\alpha = \alpha' B \Rightarrow^*a_{k+1}...a_{j} [/math]. Также по и.п. существуют [math]\gamma'[/math] и [math]\delta' [/math] такие, что [math]S' \Rightarrow^* \gamma' A \delta', \gamma' = a_1...a_{k} [/math]. Значит при [math]\gamma = \gamma', \delta = \delta' [/math] для [math][A \rightarrow \alpha \cdot \beta, i][/math] утверждение верно. 3. Пусть включаем по правилу 3 Тогда [math]\alpha = \varepsilon, i = j, [B \rightarrow \alpha' \cdot A \beta, k] \in I_{j}[/math]. По и.п. [math]\alpha' \Rightarrow^* a_{k+1}...a_{i}[/math] и существуют [math]\gamma'[/math] и [math]\delta' [/math] такие, что [math]S' \Rightarrow^* \gamma' B \delta', \gamma' \Rightarrow^* a_1...a_{k} [/math]. Значит при [math]\gamma = \gamma' \alpha', \delta = \beta \delta' [/math] выполнено [math] S' \Rightarrow^* \gamma A \delta[/math], значит для [math][A \rightarrow \alpha \cdot \beta, i][/math] утверждение верно. [math]\Leftarrow[/math] Для всех наборов [math]\tau = {\alpha, \beta, \gamma, \delta, A, i , j} [/math] нужно доказать, что если [math] S' \Rightarrow^* \gamma A \delta, \gamma \Rightarrow^* a_1...a_{i}, A \rightarrow \alpha \beta \in P, \alpha \Rightarrow^* a_{i+1}...a_{j}[/math], то [math] [A \rightarrow \alpha \cdot \beta, i] \in I_{j}[/math]. Рангом набора [math] \tau [/math] называется [math] \tau_{1}(\tau) + 2(j + \tau_{2}(\tau) + \tau_{3}(\tau))[/math], где [math]\tau_{1}(\tau)[/math] — длина кратчайшего вывода [math]S' \Rightarrow^* \gamma A \delta [/math], [math]\tau_{2}(\tau)[/math] — длина кратчайшего вывода [math]\gamma \Rightarrow^* a_1...a_{i}[/math], [math]\tau_{3}(\tau)[/math] — длина кратчайшего вывода [math]\alpha \Rightarrow^* a_{i+1}...a_{j}[/math]. Докажем утверждение по индукции: База: если ранг [math]\tau[/math] равен 0, то [math]\tau_{1} = \tau_{2} = \tau_{3} = j = i = 0[/math]. Значит [math]\alpha = \gamma = \delta = \varepsilon [/math], [math]A = S', \beta = S [/math]. Значит по инициализации [math][S' \rightarrow \cdot S, 0] \in I_0[/math]. Индукционный переход: Пусть ранг [math]\tau[/math] равен [math]r \gt 0[/math], пусть для всех наборов с меньшими рангами утверждение верно. Докажем для набора [math]\tau[/math]. Для этого рассмотрим три случая: 1. [math]\alpha[/math] оканчивается терминалом [math]\alpha = \alpha' a[/math]. [math]\alpha \Rightarrow^*a_{i+1}...a_{j}[/math], значит [math]a = a_{j}[/math]. Рассмотрим набор [math]\tau' = \mathcal {f} \alpha', a_{j} \beta, \gamma, \delta, A, i, j-1 \mathcal {g} [/math]. [math](A \rightarrow \alpha' a_{j} \beta) \in P[/math], следовательно ранг [math]\tau'[/math] равен [math]r - 2[/math], так как [math]\tau_{1}(\tau) = \tau_1(\tau'), \tau_2(\tau) = \tau_2(\tau'), \tau_{3}(\tau) = \tau_3(\tau')[/math]. Значит по и.п. [math][A \rightarrow \alpha' \cdot a_{j} \beta, i] \in I_{j-1}[/math], по правилу 1 получаем, что [math][A \rightarrow \alpha \cdot \beta, i] [/math] будет добавлена в [math]I_{j}[/math]. 2. [math]\alpha[/math] оканчивается нетерминалом [math]\alpha = \alpha' B[/math]. [math]\alpha \Rightarrow^*a_{i+1}...a_{j}[/math], значит [math]\mathcal {9} k[/math] такое, что [math]\alpha' \Rightarrow^*a_{i+1}...a_{k}, B \Rightarrow^* a_{k+1}...a_{j}[/math]. Рассмотрим набор [math]\tau' = \mathcal {f} \alpha', B \beta, \gamma, \delta, A, i, k \mathcal {g} [/math], его ранг меньше [math]r[/math]. По и.п. [math][A \rightarrow \alpha' \cdot B \beta, i] \in I_{k}[/math]. Пусть [math]B \Rightarrow \eta[/math] — первый шаг в кратчайшем выводе [math]B \Rightarrow^* a_{k+1}...a_{j}[/math]. Рассмотрим набор [math]\tau'' = \mathcal {f} \eta, \varepsilon, \gamma \alpha', \beta \delta, B, k, j \mathcal {g} [/math]. [math]S \Rightarrow^* \gamma A \delta \Rightarrow \gamma \alpha' B \beta \delta[/math], следовательно [math]\tau_1(\tau'') \leqslant \tau_1(\tau) + 1[/math]. Обозначим длину кратчайшего вывода [math]\alpha' \Rightarrow^*a_{i+1}...a_{k}[/math] за [math]n_1[/math], а длину кратчайшего вывода [math] B \Rightarrow^* a_{k+1}...a_{j}[/math] за [math]n_2[/math]. Тогда [math]\tau_3(\tau) = n_1 + n_2[/math]. Так как [math] B \Rightarrow \eta \Rightarrow^* a_{k+1}...a_{j}[/math], то [math]\tau_3(\tau'') = n_2 - 1[/math]. Очевидно, что [math]\tau_2(\tau'') = \tau_2(\tau) + n_1[/math]. Тогда ранг [math]\tau''[/math] равен [math]\tau_1(\tau'') + 2(\tau_2(\tau'') + \tau_3(\tau'') + j) \leqslant \tau_1(\tau) + 1 + 2(\tau_2(\tau) + n_1 + n_2 - 1 + j)[/math] [math]= \tau_1(\tau) - 1 + 2(\tau_2(\tau) + \tau_3(\tau) + j) \lt r[/math]. Значит по и.п. для [math]\tau''[/math], [math][B \rightarrow \eta \cdot, k] \in I_{j}[/math]. Из того, что [math][A \rightarrow \alpha' \cdot B \beta, i] \in I_{k}[/math] и [math][B \rightarrow \eta \cdot, k] \in I_{j}[/math] по правилу 1 или 2 [math][A \rightarrow \alpha \cdot \beta, i] [/math] будет добавлена в [math]I_{j}[/math]. 3. [math]\alpha[/math] является пустой [math]\alpha = \varepsilon[/math], значит [math]i = j, \tau_3(\tau) = 0[/math]. Если [math] \tau_1(\tau) = 0[/math], то [math] \gamma = \varepsilon[/math], следовательно [math] \tau_2(\tau) = 0, i = 0 [/math], откуда [math] r = 0[/math], а по и.п. [math]r \gt 0[/math]. Значит [math] \tau_1(\tau) \neq 0[/math]. Тогда [math] \mathcal {9} B, \gamma', \gamma'', \delta', \delta''[/math] такие, что [math]S' \Rightarrow^* \gamma' B \delta' \Rightarrow \gamma' \gamma'' A \delta' \delta''[/math], где [math]B = \gamma'' A \delta'' \in P[/math]. Рассмотрим набор [math]\tau' = \mathcal {f} \gamma'', A \delta'', \gamma', \delta', B, k, j \mathcal {g} [/math], где [math]k[/math] такое, что [math]\gamma' \Rightarrow^* a_1...a_{k}, \gamma'' \Rightarrow^* a_{k+1}...a_{j}[/math]. Обозначим длину кратчайшего вывода [math]\gamma' \Rightarrow^*a_{1}...a_{k}[/math] за [math]n_1[/math], а длину кратчайшего вывода [math] \gamma'' \Rightarrow^* a_{k+1}...a_{j}[/math] за [math]n_2[/math]. Найдем ранг [math]\tau'[/math]. [math]\tau_1(\tau') = \tau_1(\tau) - 1, \tau_2(\tau') = n_1, \tau_3(\tau') = n_2, \tau_3(\tau) = 0, \tau_2(\tau) = n_1 + n_2[/math]. Следовательно ранг [math]\tau'[/math] равен [math]r - 1[/math]. Значит по и.п. [math][B \rightarrow \gamma'' \cdot A \delta'', k] \in I_{j}[/math], следовательно по правилу 3 [math][A \rightarrow \cdot \beta, i] [/math] будет добавлена в [math]I_{j}[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Пример

Рассмотрим грамматику [math]G[/math] с правилами:
[math]S \rightarrow T + S[/math]
[math]S \rightarrow T [/math]
[math]T \rightarrow F * T[/math]
[math]T \rightarrow F[/math]
[math]F \rightarrow ( S )[/math]
[math]F \rightarrow a[/math]
Построим для строки [math]\omega = (a + a)[/math] список разбора.

[math]I_0[/math]
[math][S' \rightarrow \cdot S, 0][/math] — из инициализации
[math][S \rightarrow \cdot T + S, 0][/math] — из правила 3
[math][S \rightarrow \cdot T, 0][/math] — из правила 3
[math][T \rightarrow \cdot F * T, 0][/math] — из правила 3
[math][T \rightarrow \cdot F, 0][/math] — из правила 3
[math][F \rightarrow \cdot ( S ), 0][/math] — из правила 3
[math][F \rightarrow \cdot a, 0][/math] — из правила 3

[math]I_1[/math]
[math][F \rightarrow ( \cdot S ), 0][/math] — из правила 1
[math][S \rightarrow \cdot T + S, 1][/math] — из правила 3
[math][S \rightarrow \cdot T, 1][/math] — из правила 3
[math][T \rightarrow \cdot F * T, 1][/math] — из правила 3
[math][T \rightarrow \cdot F, 1][/math] — из правила 3
[math][F \rightarrow \cdot ( S ), 1][/math] — из правила 3
[math][F \rightarrow \cdot a, 1][/math] — из правила 3

[math]I_2[/math]
[math][F \rightarrow a \cdot, 1][/math] — из правила 1
[math][T \rightarrow F \cdot * T, 1][/math] — из правила 2
[math][T \rightarrow F \cdot , 1][/math] — из правила 2
[math][S \rightarrow T \cdot , 1][/math] — из правила 2
[math][S \rightarrow T \cdot + S, 1][/math] — из правила 2
[math][F \rightarrow ( S \cdot ), 0][/math] — из правила 2

[math]I_3[/math]
[math][S \rightarrow T + \cdot S, 1][/math] — из правила 1
[math][S \rightarrow \cdot T + S, 3][/math] — из правила 3
[math][S \rightarrow \cdot T, 3][/math] — из правила 3
[math][T \rightarrow \cdot F * T, 3][/math] — из правила 3
[math][T \rightarrow \cdot F, 3][/math] — из правила 3
[math][F \rightarrow \cdot ( S ), 3][/math] — из правила 3
[math][F \rightarrow \cdot a, 3][/math] — из правила 3

[math]I_4[/math]
[math][F \rightarrow a \cdot , 3][/math] — из правила 1
[math][T \rightarrow F \cdot * T, 3][/math] — из правила 2
[math][T \rightarrow F \cdot , 3][/math] — из правила 2
[math][S \rightarrow T \cdot + S, 3][/math] — из правила 2
[math][S \rightarrow T \cdot , 3][/math] — из правила 2
[math][S \rightarrow T + S \cdot , 1][/math] — из правила 2
[math][F \rightarrow ( S \cdot ), 0][/math] — из правила 2

[math]I_5[/math]
[math][F \rightarrow ( S )\cdot , 0][/math] — из правила 1
[math][T \rightarrow F \cdot * T, 0][/math] — из правила 2
[math][T \rightarrow F \cdot , 0][/math] — из правила 2
[math][S \rightarrow T \cdot + S, 0][/math] — из правила 2
[math][S \rightarrow T \cdot , 0][/math] — из правила 2
[math][S' \rightarrow S \cdot , 0][/math] — из правила 2

Так как [math][S' \rightarrow S \cdot , 0] \in I_5[/math], то [math]\omega \in L(G) [/math].

Литература

Ахо А., Ульман Д. Теория синтакcического анализа, перевода и компиляции. Том 1. Синтаксический анализ. Пер. с англ. — М.:«Мир», 1978. С. 358 — 364.