Регулярные языки: два определения и их эквивалентность

Регулярные языки: два определения и их эквивалентность

Определение:

Множество регулярных языков [math] Reg [/math] над алфавитом [math] \Sigma = \left\{c_1, c_2, \ldots ,c_k \right\} [/math] — множество языков, которое может быть получено из языков, каждый из которых содержит единственное слово — [math]c_i[/math], при помощи последовательных применений операций объединения, конкатенации или замыкания Клини и никаких других, то есть: обозначим [math]R_0=\left\{\varnothing, \left\{\varepsilon \right\}, \left\{c_1 \right\}, \left\{c_2 \right\} , \ldots, \left\{c_k \right\} \right\}[/math], определим [math]R_{i+1}[/math] через [math]R_i[/math]: [math]R_{i+1} = R_i \cup \left\{L_1 \cup L_2, L_1L_2, L_1^* | L_1, L_2 \in R_i\right\}[/math], тогда: [math]Reg = \bigcup\limits_{i=0}^{\infty}R_i[/math].

Определение:

Пусть задан алфавит [math] \Sigma = \left\{c_1, c_2, \ldots ,c_k \right\} [/math]. Множество [math]R[/math] будем называть надрегулярным, если: [math]R_0 \subset R[/math], где [math]R_0=\left\{\varnothing, \left\{\varepsilon \right\}, \left\{c_1 \right\}, \left\{c_2 \right\}, \ldots, \left\{c_k \right\} \right\}[/math], [math] L_1, L_2 \in R \Rightarrow L_1 \cup L_2 \in R, L_1L_2 \in R, L_1^* \in R[/math]. Тогда множеством регулярных языков [math]Reg'[/math] над алфавитом [math] \Sigma = \left\{c_1, c_2, ... ,c_k \right\} [/math] называется пересечение всех надрегулярных множеств: [math]Reg'=\bigcap\limits_{R - nadreg}R[/math].

Теорема:

Определения 1 и 2 эквивалентны.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Докажем, что [math]Reg \subset Reg'[/math] и [math]Reg' \subset Reg[/math]. [math]Reg \subset Reg'[/math] По определению [math]Reg = \bigcup\limits_{i=0}^{\infty}R_i[/math]. Покажем, что [math]\bigcup\limits_{i=0}^{\infty}R_i \subset R[/math], где [math]R[/math] — любое надрегулярное множество. Для этого докажем по индукции по [math]i[/math], что [math]R_i \subset R[/math]. База: [math]i = 0[/math]. [math]R_0 \subset R[/math] по определению надрегулярного множества. Переход: известно, что [math]R_i \subset R[/math], докажем, что [math]R_{i+1} \subset R[/math]. По определению надрегулярного множества для любых [math]L_1, L_2 \in R_i \subset R[/math] верны утверждения: [math]L_1 \cup L_2 \in R, L_1L_2 \in R, L_1^* \in R[/math]. То есть: [math]\left\{L_1 \cup L_2, L_1L_2, L_1^* | L_1, L_2 \in R_i\right\} \subset R[/math]. Вспоминая определение [math]R_{i+1}[/math] и предположение индукции ([math]R_i \subset R[/math]), получаем, что [math]R_{i+1} \subset R[/math]. Так как [math]Reg \subset R[/math] для любого надрегулярного множества [math]R[/math], получаем, что [math] \bigcup\limits_{i=0}^{\infty}R_i \subset Reg' [/math]. [math]Reg' \subset Reg[/math] Докажем, что [math] Reg [/math] является надрегулярным множеством. Для этого проверим, выполняются ли свойства надрегулярного множества на нём: [math] R_0 \subset Reg [/math] — выполнено (по определению [math]Reg[/math]). Рассмотрим [math]L_1, L_2 \in Reg[/math]. Так как [math]Reg = \bigcup\limits_{i=0}^{\infty}R_i[/math], то [math] \exists i : L_1\in R_i [/math] и [math] \exists j : L_2 \in R_j [/math]. Тогда из определения [math] Reg [/math] следует, что [math] L_1L_2 \in R_{max(i, j)+1}, L_1 \cup L_2\in R_{max(i, j)+1}, L_1^* \in R_{i + 1}[/math]. Так как [math]Reg = \bigcup\limits_{i=0}^{\infty}R_i[/math], то получаем, что [math] L_1L_2 \in Reg, L_1 \cup L_2\in Reg, L_1^* \in Reg [/math]. Следовательно, второе свойство также выполнено. Значит, [math]Reg[/math] — надрегулярное множество. А так как [math]Reg'=\bigcap\limits_{\text{R- nadreg}}R[/math], то [math]Reg' \subset Reg[/math].

[math]\triangleleft[/math]