Свойства перечислимых языков. Теорема Успенского-Райса

Определения

Рассмотрим множество всех перечислимых языков [math] RE [/math].

Определение:

Свойством языков называется множество [math] A \subset RE [/math].

Определение:

Свойство называется тривиальным, если [math] A = \varnothing [/math] или [math] A = RE [/math].

Определение:

Язык свойства [math] A [/math] — множество программ, языки которых обладают этим свойством: [math]L(A) \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \lbrace p | L(p) \in A \rbrace [/math].

Определение:

Свойство [math] A [/math] называется разрешимым, если [math]L(A) [/math] является разрешимым.

Теорема Успенского-Райса

Теорема:

Язык никакого нетривиального свойства не является разрешимым.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Приведём доказательство от противного. Предположим, что [math]A[/math] разрешимо и нетривиально, [math]p_A[/math] — программа, разрешающая [math]A[/math]. Не умаляя общности, можно считать, что [math]\varnothing \notin A[/math] (в противном случае перейдём к [math]RE \setminus A[/math], которое также будет разрешимым и нетривиальным). Поскольку [math]A[/math] непусто, то найдётся перечислимый язык [math]X \in A[/math]. Пусть [math]p_X[/math] — полуразрешитель [math]X[/math]. Рассмотрим вспомогательную программу: [math]g_{i,x}(y):[/math] if U(i, x) == 1 return [math]p_X(y)[/math] Нетрудно понять, что в разумной модели вычислений номер этой программы можно вычислить по данным [math]i[/math] и [math]x[/math]. Значит, можно рассмотреть такую программу: [math]US(\langle i, x \rangle )[/math] return [math]p_A ( g_{i,x} ) [/math] Заметим, что [math] L(g_{i,x}) = \begin{cases} X, & U(i, x) = 1; \\ \varnothing, & U(i, x) \neq 1; \\ \end{cases} [/math] Следовательно, [math] US(\langle i, x \rangle ) = p_A(g_{i,x}) = \begin{cases} p_A(p_X), & U(i, x) = 1; \\ p_A(p_\varnothing ), & U(i, x) \neq 1; \\ \end{cases} = \begin{cases} 1, & U(i, x) = 1; \\ 0, & U(i, x) \neq 1; \\ \end{cases} [/math] — программа, разрешающая универсальное множество. Получили противоречие.

[math]\triangleleft[/math]