Изменения

{{Теорема

|statement=

Для любого иррационального числа <tex>\alpha</tex> существует бесконечное число дробей <tex>\frac{P}{Q}</tex> таких, что <tex>~|\alpha-\frac{P}{Q}|<\frac{1}{2Q^2}</tex>.

}}

{{Теорема

|statement=

Для любого иррационального числа <tex>\alpha</tex> существует бесконечное число дробей <tex>\frac{P}{Q}</tex> таких, что <tex>~|\alpha-\frac{P}{Q}|<\frac{1}{\sqrt{5}Q^2}</tex>

}}

|statement=

Любую конечную цепную дробь <math><a_0, a_1, a_2,\cdots, a_n></math> с чётным(нечётным) числом подходящих дробей можно представить в виде эквивалентной конечной цепной дроби с нечётным(чётным) числом подходящих дробей.

}}

{{Лемма

|statement=

Если <math>x = \frac{P\zeta+R}{Q\zeta+S}</math>, где <math>\zeta > 1, P, Q, R, S</math> удовлетворяют <math>Q>S>0</math> и <math>PS-QR= +- 1</math>, то <math>\frac{R}{S}, \frac{P}{Q} </math> - n-1-ая и n-ая подходящие дроби для <math>x</math>.

|proof=

Разложим <tex>\frac{P}{Q}</tex> в цепную дробь<tex><a_0, a_1, a_2, \dots, a_n> = \frac{P_n}{Q_n}</tex>.

<tex>P_nS-Q_nR=(-1)^{n-1}=P_nQ_{n-1}-P_{n-1}Q_n</tex> <tex>P_n(S-Q_{n-1})=Q_n(R-P_{n-1})</tex>

}}