Эта статья находится в разработке!
Пусть две точки [math]a(a_x, a_y), b(b_x, b_y)[/math] заданы абсолютно точно, а точка [math] c [/math] задана как точка внешнего касания двух окружностей [math](o_1(x_1, y_1), r_1)[/math] и [math](o_2(x_2, y_2), r_2).[/math]
[math]\overrightarrow{o_1c} = \frac{r_1}{r_1 + r_2} \cdot \overrightarrow{o_1o_2}, \\
\overrightarrow{o_1o_2} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1) \\
c_x = \frac{r_1}{r_1 + r_2} \cdot (x_2 - x_1) + x_1 = \frac{r_1}{r_1 + r_2} \cdot x_2 + \frac{r_2}{r_1 + r_2} \cdot x_1\\
c_y = \frac{r_1}{r_1 + r_2} \cdot (y_2 - y_1) + y_1 = \frac{r_1}{r_1 + r_2} \cdot y_2 + \frac{r_2}{r_1 + r_2} \cdot y_1[/math]
Обозначим
[math] v = (b - a) \times (c - a) = \\
= (b_x - a_x) (\frac{r_1}{r_1 + r_2} \cdot y_2 + \frac{r_2}{r_1 + r_2} \cdot y_1 - a_y) - \\
- (b_y - a_y) (\frac{r_1}{r_1 + r_2} \cdot x_2 + \frac{r_2}{r_1 + r_2} \cdot x_1 - a_x) = \\[/math]
[math] = \frac{(b_x - a_x) (r_1 y_2 + r_2 y_1 - a_y (r_1 + r_2)) - (b_y - a_y) (r_1 x_2 + r_2 x_1 - a_x (r_1 + r_2))}{r_1 + r_2}[/math].
Так как [math] r_1 + r_2 \gt 0, [/math] то мы можем оценивать знак выражения [math]k = v \cdot (r_1 + r_2)[/math]
[math]k = (b_x - a_x) (r_1 (y_2 - a_y) + r_2 (y_1 - a_y)) - (b_y - a_y) (r_1 (x_2 - a_x) + r_2 (x_1 - a_x)) = \\
= (b_x - a_x) r_1 (y_2 - a_y) + (b_x - a_x) r_2 (y_1 - a_y) - \\
- (b_y - a_y) r_1 (x_2 - a_x) - (b_y - a_y) r_2 (x_1 - a_x)[/math]
Теперь распишем это выражение в дабловой арифметике.
Для сокращения обозначим произведение [math](1 + \delta_{p_1}) \cdot (1 + \delta_{p_2}) \cdot \ldots \cdot (1 + \delta_{p_n})[/math] за
[math]F(p_1, p_2, \ldots , p_n)[/math]
[math]\tilde{k} = (b_x \ominus a_x) \otimes (r_1 \otimes (y_2 \ominus a_y) \oplus r_2 \otimes (y_1 \ominus a_y)) \ominus \\
\ominus (b_y \ominus a_y) \otimes (r_1 \otimes (x_2 \ominus a_x) \oplus r_2 \otimes (x_1 \ominus a_x)) = \\
= [(b_x - a_x) (r_1 (y_2 - a_y)F(1, 2) + r_2 (y_1 - a_y)F(3, 4))F(5, 6, 7) - \\
- (b_y - a_y) (r_1 (x_2 - a_x)F(8, 9) + r_2 (x_1 - a_x)F(10, 11))F(12, 13, 14)]F(15) = \\
= (b_x - a_x) r_1 (y_2 - a_y)F(1, 2, 5, 6, 7, 15) + \\
+ (b_x - a_x) r_2 (y_1 - a_y)F(3, 4, 5, 6, 7, 15) - \\
- (b_y - a_y) r_1 (x_2 - a_x)F(8, 9, 12, 13, 14, 15) - \\
- (b_y - a_y) r_2 (x_1 - a_x)F(10, 11, 12, 13, 14, 15)
[/math]
[math] |\delta_i| \leq \varepsilon_m [/math]
Заметим, что [math] k\approx \tilde{k} [/math]
Теперь оценим абсолютную погрешность [math] \epsilon = |k - \tilde{k}|. [/math]
[math] |k - \tilde{k}| = \\
=|r_1(b_x - a_x)(y_2 - a_y) + \\
+ r_2(b_x - a_x)(y_1 - a_y) - \\
- r_1(b_y - a_y)(x_2 - a_x) - \\
- r_2(b_y - a_y)(x_1 - a_x) - \\
- r_1(b_x - a_x)(y_2 - a_y) \cdot F(1, 2, 5, 6, 7, 15) - \\
- r_2(b_x - a_x)(y_1 - a_y) \cdot F(3, 4, 5, 6, 7, 15) + \\
+ r_1(b_y - a_y)(x_2 - a_x) \cdot F(8, 9, 12, 13, 14, 15) + \\
+ r_2(b_y - a_y)(x_1 - a_x) \cdot F(10, 11, 12, 13, 14, 15)| = \\
= |r_1(b_x - a_x)(y_2 - a_y) \cdot (F(1, 2, 5, 6, 7, 15) - 1) - \\
- r_2(b_x - a_x)(y_1 - a_y) \cdot (F(3, 4, 5, 6, 7, 15) - 1) + \\
+ r_1(b_y - a_y)(x_2 - a_x) \cdot (F(8, 9, 12, 13, 14, 15) - 1) + \\
+ r_2(b_y - a_y)(x_1 - a_x) \cdot (F(10, 11, 12, 13, 14, 15) - 1)| \leq \\
\leq |r_1(b_x - a_x)(y_2 - a_y)| \cdot |(F(1, 2, 5, 6, 7, 15) - 1)| + \\
+ |r_2(b_x - a_x)(y_1 - a_y)| \cdot |(F(3, 4, 5, 6, 7, 15) - 1)| + \\
+ |r_1(b_y - a_y)(x_2 - a_x)| \cdot |(F(8, 9, 12, 13, 14, 15) - 1)| + \\
+ |r_2(b_y - a_y)(x_1 - a_x)| \cdot |(F(10, 11, 12, 13, 14, 15) - 1)|[/math]
Теперь раскрываем скобки во всех [math]F[/math], сокращаем единицы. Пользуемся свойством, что [math]|\sum{p_i}| \leq \sum{|p_i|}[/math],
потом вспоминаем, что [math] |\delta_i| \leq \varepsilon_m [/math].
Получаем следующее:
[math] |k - \tilde{k}| \leq \\
\leq |r_1(b_x - a_x)(y_2 - a_y)| \cdot (6\varepsilon_m + 15\varepsilon_m^2 + 20\varepsilon_m^3 + 15\varepsilon_m^4 + 6\varepsilon_m^5 + \varepsilon_m^6) + \\
+ |r_2(b_x - a_x)(y_1 - a_y)| \cdot (6\varepsilon_m + 15\varepsilon_m^2 + 20\varepsilon_m^3 + 15\varepsilon_m^4 + 6\varepsilon_m^5 + \varepsilon_m^6) + \\
+ |r_1(b_y - a_y)(x_2 - a_x)| \cdot (6\varepsilon_m + 15\varepsilon_m^2 + 20\varepsilon_m^3 + 15\varepsilon_m^4 + 6\varepsilon_m^5 + \varepsilon_m^6) + \\
+ |r_2(b_y - a_y)(x_1 - a_x)| \cdot (6\varepsilon_m + 15\varepsilon_m^2 + 20\varepsilon_m^3 + 15\varepsilon_m^4 + 6\varepsilon_m^5 + \varepsilon_m^6) = \\
= (|r_1(b_x - a_x)(y_2 - a_y)| + |r_2(b_x - a_x)(y_1 - a_y)| + |r_1(b_y - a_y)(x_2 - a_x)| + \\
+ |r_2(b_y - a_y)(x_1 - a_x)|) \cdot
(6\varepsilon_m + 15\varepsilon_m^2 + 20\varepsilon_m^3 + 15\varepsilon_m^4 + 6\varepsilon_m^5 + \varepsilon_m^6)[/math]
Пусть
[math] t = (|r_1(b_x - a_x)(y_2 - a_y)| + |r_2(b_x - a_x)(y_1 - a_y)| + |r_1(b_y - a_y)(x_2 - a_x)| + \\
+ |r_2(b_y - a_y)(x_1 - a_x)|).[/math]
Получаем, что
[math] \epsilon = |k - \tilde{k}| \leq t \cdot (6\varepsilon_m + 15\varepsilon_m^2 + 20\varepsilon_m^3 + 15\varepsilon_m^4 + 6\varepsilon_m^5 + \varepsilon_m^6). [/math]
Итого:
[math] t \leq \tilde{t} \frac{1}{(1 - \varepsilon_m)^6} = \tilde{t} (1 + 6 \varepsilon_m + 21 \varepsilon_m^2 + 56 \varepsilon_m^3 + \ldots) [/math]
[math] \epsilon = |k - \tilde{k}| \leq \tilde{\epsilon} \leq \tilde{t} (1 + 6 \varepsilon_m + 21 \varepsilon_m^2 + \ldots) (6 \varepsilon_m + 15 \varepsilon_m^2 + 20 \varepsilon_m^3 + \ldots) [/math]
