Квадратичный закон взаимности — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м (использование шаблона утверждение)
м (применение шаблона Утверждение)
Строка 20: Строка 20:
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
−
Пусть <tex>n\ ---</tex> нечетное, больше единицы и <tex>n=p_1\cdots p_s</tex>, где <tex>p_1,\cdots,p_s\ ---</tex> простые числа. Тогда символ Якоби <tex>\left(\cfrac{a}{n}\right)</tex> определяется следующим равенством:
+
Пусть <tex>n</tex> {{---}} нечетное, больше единицы и <tex>n=p_1\cdots p_s</tex>, где <tex>p_1,\cdots,p_s</tex> {{---}} простые числа. Тогда символ Якоби <tex>\left(\cfrac{a}{n}\right)</tex> определяется следующим равенством:
  
 
<tex>\left(\cfrac{a}{n}\right)=\left(\cfrac{a}{p_1}\right)\times\cdots\times\left(\cfrac{a}{p_s}\right)</tex>.
 
<tex>\left(\cfrac{a}{n}\right)=\left(\cfrac{a}{p_1}\right)\times\cdots\times\left(\cfrac{a}{p_s}\right)</tex>.
Строка 40: Строка 40:
 
пока нет.
 
пока нет.
 
}}
 
}}
 +
 
====Утверждение 2====
 
====Утверждение 2====
 +
{{Утверждение
 +
|id=proposal2
 +
|about=2
 +
|statement=
 
<tex>\left(\cfrac{ab}{n}\right)=\left(\cfrac{a}{n}\right)\left(\cfrac{b}{n}\right)</tex>
 
<tex>\left(\cfrac{ab}{n}\right)=\left(\cfrac{a}{n}\right)\left(\cfrac{b}{n}\right)</tex>
 +
|proof=
 +
пока нет.
 +
}}
 +
 
====Утверждение 3====
 
====Утверждение 3====
 +
{{Утверждение
 +
|id=proposal3
 +
|about=3
 +
|statement=
 
НОД<tex>(a,n)=1\Rightarrow\left(\cfrac{a^2 b}{n}\right)=\left(\cfrac{b}{n}\right)</tex>
 
НОД<tex>(a,n)=1\Rightarrow\left(\cfrac{a^2 b}{n}\right)=\left(\cfrac{b}{n}\right)</tex>
 +
|proof=
 +
пока нет.
 +
}}
 +
 
====Утверждение 4====
 
====Утверждение 4====
 +
{{Утверждение
 +
|id=proposal4
 +
|about=4
 +
|statement=
 
<tex>\left(\cfrac{1}{n}\right)=1</tex>
 
<tex>\left(\cfrac{1}{n}\right)=1</tex>
 +
|proof=
 +
пока нет.
 +
}}
 +
 
====Утверждение 5====
 
====Утверждение 5====
 +
{{Утверждение
 +
|id=proposal5
 +
|about=5
 +
|statement=
 
<tex>\left(\cfrac{-1}{n}\right)=(-1)^{\frac{n-1}{2}}</tex>
 
<tex>\left(\cfrac{-1}{n}\right)=(-1)^{\frac{n-1}{2}}</tex>
−
 
+
|proof=
−
''Доказательство''
 
 
Рассмотрим нечетные <tex>n</tex> и <tex>m</tex>:
 
Рассмотрим нечетные <tex>n</tex> и <tex>m</tex>:
  
 
<tex>0\equiv(n-1)(m-1)\pmod 4\Rightarrow n-1+m-1=nm-1\pmod 4\Rightarrow \cfrac{n-1}{2}+~\cfrac{m-1}{2}\equiv~\cfrac{nm-1}{2}\pmod 4\Rightarrow\cfrac{p_1-1}{2}+\cdots+\cfrac{p_s-1}{2}\equiv\cfrac{p_1p_2\cdots p_s-1}{2}\pmod 2</tex>
 
<tex>0\equiv(n-1)(m-1)\pmod 4\Rightarrow n-1+m-1=nm-1\pmod 4\Rightarrow \cfrac{n-1}{2}+~\cfrac{m-1}{2}\equiv~\cfrac{nm-1}{2}\pmod 4\Rightarrow\cfrac{p_1-1}{2}+\cdots+\cfrac{p_s-1}{2}\equiv\cfrac{p_1p_2\cdots p_s-1}{2}\pmod 2</tex>
  
−
Так как <tex>\left(\cfrac{1}{n}\right)=\left(\cfrac{1}{p_1}\right)\times\cdots\times\left(\cfrac{1}{p_s}\right)=(-1)^{\frac{p_1-1}{2}+\cdots\frac{p_s-1}{2}}</tex>, получаем: <tex>(-1)^{\frac{p_1-1}{2}+\cdots\frac{p_s-1}{2}}=(-1)^{\frac{p_1p_2\cdots p_s-1}{2}}=(-1)^{\frac{n-1}{2}}\ \triangleleft</tex>
+
Так как <tex>\left(\cfrac{1}{n}\right)=\left(\cfrac{1}{p_1}\right)\times\cdots\times\left(\cfrac{1}{p_s}\right)=(-1)^{\frac{p_1-1}{2}+\cdots\frac{p_s-1}{2}}</tex>, получаем: <tex>(-1)^{\frac{p_1-1}{2}+\cdots\frac{p_s-1}{2}}=(-1)^{\frac{p_1p_2\cdots p_s-1}{2}}=(-1)^{\frac{n-1}{2}}</tex>
 +
}}
 +
 
 
====Утверждение 6====
 
====Утверждение 6====
 +
{{Утверждение
 +
|id=proposal6
 +
|about=6
 +
|statement=
 
<tex>\left(\cfrac{2}{n}\right)=(-1)^{\frac{n^2-1}{8}}</tex>
 
<tex>\left(\cfrac{2}{n}\right)=(-1)^{\frac{n^2-1}{8}}</tex>
−
 
+
|proof=
−
''Доказательство''
 
 
Аналогично предыдущему докажем, что
 
Аналогично предыдущему докажем, что
  
Строка 67: Строка 100:
 
<tex>0\equiv(n^2-1)(m^2-1)\pmod 16\Rightarrow n^2-1+m^2-1\equiv n^2m^2-1\pmod 16\Rightarrow \cfrac{n^2-1}{8}+\cfrac{m^2-1}{8}\equiv\cfrac{n^2m^2-1}{8}\pmod 2\Rightarrow\cfrac{p_1^2-1}{8}+\cdots+\cfrac{p_s^2-1}{8}\equiv\cfrac{(p_1p_2\cdots p_s-1)^2}{8}\pmod 2</tex>
 
<tex>0\equiv(n^2-1)(m^2-1)\pmod 16\Rightarrow n^2-1+m^2-1\equiv n^2m^2-1\pmod 16\Rightarrow \cfrac{n^2-1}{8}+\cfrac{m^2-1}{8}\equiv\cfrac{n^2m^2-1}{8}\pmod 2\Rightarrow\cfrac{p_1^2-1}{8}+\cdots+\cfrac{p_s^2-1}{8}\equiv\cfrac{(p_1p_2\cdots p_s-1)^2}{8}\pmod 2</tex>
  
−
Получаем <tex>(-1)^{\frac{p_1^2-1}{8}+\cdots+\frac{p_s^2-1}{8}}=(-1)^{\frac{(p_1p_2\cdots p_s)^2-1}{8}}=(-1)^{\frac{n^2-1}{8}}\triangleleft</tex>
+
Получаем <tex>(-1)^{\frac{p_1^2-1}{8}+\cdots+\frac{p_s^2-1}{8}}=(-1)^{\frac{(p_1p_2\cdots p_s)^2-1}{8}}=(-1)^{\frac{n^2-1}{8}}</tex>
 +
}}
 
[[Категория: Теория чисел]]
 
[[Категория: Теория чисел]]

Версия 20:34, 26 июня 2010

Эта статья находится в разработке!

Квадратичный закон взаимности

Теорема (Квадратичный закон взаимности):
Для любых простых нечетных [math]p[/math] и [math]q[/math] справедливо:

[math]\left(\cfrac{p}{q}\right)=(-1)^{\frac{p-1}{2}\cdot\frac{q-1}{2}}\cdot\left(\cfrac{q}{p}\right)[/math]

Впервые теорема была сформулирована Эйлером в1783 году, а впоследствии доказана Гауссомв 1796, и имела следующую формулировку:

[math]\left(\cfrac{p}{q}\right)\neq\left(\cfrac{q}{p}\right)\Leftrightarrow\begin{cases}p\equiv 3\pmod 4\\q\equiv 3\pmod 4\end{cases}[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Теорема приводится без доказательства.
[math]\triangleleft[/math]

Символ Якоби

Определение:
Пусть [math]n[/math] — нечетное, больше единицы и [math]n=p_1\cdots p_s[/math], где [math]p_1,\cdots,p_s[/math] — простые числа. Тогда символ Якоби [math]\left(\cfrac{a}{n}\right)[/math] определяется следующим равенством:

[math]\left(\cfrac{a}{n}\right)=\left(\cfrac{a}{p_1}\right)\times\cdots\times\left(\cfrac{a}{p_s}\right)[/math].

Символ Якоби является обобщением символа Лежандра, а символ Лежандра является частным случаем символа Якоби.


Свойства символа Якоби

Свойства символа Якоби прямо вытекают из соответствующих свойств символа Лежандра. Их доказательство оставляется читателю в качестве самостоятельного упражнения.

Утверждение 1

Утверждение (1):
[math]a_1\equiv a \pmod n\Rightarrow\left(\cfrac{a_1}{n}\right)=\left(\cfrac{a}{n}\right)[/math]
[math]\triangleright[/math]
пока нет.
[math]\triangleleft[/math]

Утверждение 2

Утверждение (2):
[math]\left(\cfrac{ab}{n}\right)=\left(\cfrac{a}{n}\right)\left(\cfrac{b}{n}\right)[/math]
[math]\triangleright[/math]
пока нет.
[math]\triangleleft[/math]

Утверждение 3

Утверждение (3):
НОД[math](a,n)=1\Rightarrow\left(\cfrac{a^2 b}{n}\right)=\left(\cfrac{b}{n}\right)[/math]
[math]\triangleright[/math]
пока нет.
[math]\triangleleft[/math]

Утверждение 4

Утверждение (4):
[math]\left(\cfrac{1}{n}\right)=1[/math]
[math]\triangleright[/math]
пока нет.
[math]\triangleleft[/math]

Утверждение 5

Утверждение (5):
[math]\left(\cfrac{-1}{n}\right)=(-1)^{\frac{n-1}{2}}[/math]
[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим нечетные [math]n[/math] и [math]m[/math]:

[math]0\equiv(n-1)(m-1)\pmod 4\Rightarrow n-1+m-1=nm-1\pmod 4\Rightarrow \cfrac{n-1}{2}+~\cfrac{m-1}{2}\equiv~\cfrac{nm-1}{2}\pmod 4\Rightarrow\cfrac{p_1-1}{2}+\cdots+\cfrac{p_s-1}{2}\equiv\cfrac{p_1p_2\cdots p_s-1}{2}\pmod 2[/math]

Так как [math]\left(\cfrac{1}{n}\right)=\left(\cfrac{1}{p_1}\right)\times\cdots\times\left(\cfrac{1}{p_s}\right)=(-1)^{\frac{p_1-1}{2}+\cdots\frac{p_s-1}{2}}[/math], получаем: [math](-1)^{\frac{p_1-1}{2}+\cdots\frac{p_s-1}{2}}=(-1)^{\frac{p_1p_2\cdots p_s-1}{2}}=(-1)^{\frac{n-1}{2}}[/math]
[math]\triangleleft[/math]

Утверждение 6

Утверждение (6):
[math]\left(\cfrac{2}{n}\right)=(-1)^{\frac{n^2-1}{8}}[/math]
[math]\triangleright[/math]

Аналогично предыдущему докажем, что

[math]\cfrac{p_1^2-1}{8}+\cdots+\cfrac{p_s^2-1}{8}\equiv\cfrac{(p_1p_2\cdots p_s)^2-1}{8}\pmod 2[/math]

Рассмотрим нечетные [math]n[/math] и [math]m[/math]:

[math]0\equiv(n^2-1)(m^2-1)\pmod 16\Rightarrow n^2-1+m^2-1\equiv n^2m^2-1\pmod 16\Rightarrow \cfrac{n^2-1}{8}+\cfrac{m^2-1}{8}\equiv\cfrac{n^2m^2-1}{8}\pmod 2\Rightarrow\cfrac{p_1^2-1}{8}+\cdots+\cfrac{p_s^2-1}{8}\equiv\cfrac{(p_1p_2\cdots p_s-1)^2}{8}\pmod 2[/math]

Получаем [math](-1)^{\frac{p_1^2-1}{8}+\cdots+\frac{p_s^2-1}{8}}=(-1)^{\frac{(p_1p_2\cdots p_s)^2-1}{8}}=(-1)^{\frac{n^2-1}{8}}[/math]
[math]\triangleleft[/math]
Источник — «http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=Квадратичный_закон_взаимности&oldid=1920»