Период и бордер, их связь

Связь периода и бордера

Теорема:

Если у строки длины [math]n[/math] есть бордер длины [math]k[/math], то у нее есть период длины [math](n - k)[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Напишем формально определения бордера длины [math]k[/math] строки [math]\alpha[/math]: [math]\forall i = 1 \ldots k[/math], [math]\alpha [i] = \alpha[i + (n - k)][/math]. Сделаем замену [math]x = n - k[/math]: [math]\forall i = 1 \ldots n - x[/math], [math]\alpha [i] = \alpha[i + x][/math]. Получили определение периода длины [math]x[/math]. Но [math]x = n - k[/math], значит у строки [math]\alpha[/math] есть период длины [math](n - k)[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Свойства периода

Теорема:

Если у строки есть период длины [math]k[/math], то у нее есть период длины [math](k * x)[/math], где [math] x \in N[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Пусть Длина строки равна [math]n[/math]. Тогда из определения периода имеем, что [math]\forall i = 1 \ldots n - k[/math], [math]\alpha [i] = \alpha[i + k][/math]. Это вернео для всех таких [math]i[/math], значит получаем [math]\alpha [i] = \alpha[i + k][/math]. [math]\alpha [i + k] = \alpha[i + 2* k][/math]. [math]\alpha [i + 2 * k] = \alpha[i + 3 * k][/math]. [math] \ldots [/math] [math]\alpha [i + (x - 1) * k] = \alpha[i + x * k][/math]. Следовательно для [math]\forall i = 1 \ldots n - x * k[/math], [math]\alpha [i] = \alpha[i + x *k][/math]. Значит у строки есть период длины [math](k * x)[/math].

[math]\triangleleft[/math]