Период и бордер, их связь

Связь периода и бордера

Теорема:

Если у строки длины [math]|n|[/math] есть бордер длины [math]|k|[/math], то у нее есть период длины [math]|n - k|[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Напишем формально определения бордера длины [math]|k|[/math] строки [math]\alpha[/math]: [math]\forall i = 1 \ldots k[/math], [math]\alpha [i] = \alpha[i + (n - k)][/math]. Сделаем замену [math]x = n - k[/math]: [math]\forall i = 1 \ldots n - x[/math], [math]\alpha [i] = \alpha[i + x][/math]. Получили определение периода длины [math]x[/math]. Но [math]x = n - k[/math], значит у строки [math]\alpha[/math] есть период длины [math]|n - k|[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Свойства периода

Теорема:

Если у строки есть период длины [math]|k|[/math], то у нее есть период длины [math]|k \cdot x|[/math], где [math] x \in N[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Пусть длина строки равна [math]n[/math]. Доказательство будем вести по индукции по числу [math]x[/math]. Для [math] x = 1 [/math] утверждение очевидно. Пусть верно для [math]x = m[/math]. Докажем, что верно для [math]x = m + 1[/math]. Из определения периода имеем, что для [math]\forall i = 1 \ldots n - k[/math], [math]\alpha [i] = \alpha[i + k][/math], а из предположения индукции, что для [math]\forall i = 1 \ldots n - k[/math], [math]\alpha [i] = \alpha[i + m \cdot k][/math] Значит получаем, что [math]\forall i = 1 \ldots n - k[/math] [math]\alpha [i] = \alpha [i + m \cdot k] = \alpha[i + m \cdot k + k][/math], следовательно для [math]\forall i = 1 \ldots n - k[/math], [math]\alpha [i] = \alpha[i + (m + 1) \cdot k][/math]. Значит у строки есть период длины [math] |(m + 1) \cdot k|[/math]. Утверждение доказано.

[math]\triangleleft[/math]

Теорема:

Если у строки есть периоды длины [math]|p|[/math] и [math]|q|[/math], то НОД[math](p, q)[/math] также является периодом этой строки.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Пусть [math] p \gt q [/math], тогда для [math]\forall i = 1 \ldots n - p[/math], [math]\alpha [i] = \alpha[i + p] = \alpha[i + q][/math]. Значит для [math]\forall i = q \ldots n - p[/math], [math]\alpha [i + q] = \alpha[i + p][/math] Сделаем замену [math]j = i + q[/math] и получим, что для [math]\forall j = 1 \ldots n - (p - q)[/math], [math]\alpha [j] = \alpha[j + (p - q)][/math] Получили новый период длины [math]|p - q|[/math]. Пусть теперь [math]p = max(p - q, q)[/math], а [math]q = min(p - q, q)[/math]. Будем повторять алгоритм сначала, пока [math]p \lt \gt q[/math]. Видно, что представленный алгоритм - это алгоритм Евклида. Значит при его завершении получим, что последний найденный период равен НОД[math](p, q)[/math].

[math]\triangleleft[/math]