Реализация запроса в дереве отрезков сверху

Данная операция позволяет выполнять запросы на дереве отрезков, причем алгоритм запускается от корня и рекурсивно идет сверху вниз.

Алгоритм

Пусть есть уже построенное дерево отрезков и идет запрос на отрезке [math][a .. b][/math].

Пример дерева отрезков

Будем передавать в качестве параметров рекурсий следующие переменные:

• [math]node[/math] — номер(в массиве с деревом отрезков) текущей вершины дерева.
• [math]a[/math], [math]b[/math] — левая и правая границы запрашиваемого отрезка.

Пусть [math]l[/math], [math]r[/math] — это левая и правая границы отрезков, за которые "отвечает" наша вершина, причем левые границы обоих отрезков - включительно, а правые - нет. В дальнейшем будем называть подобную структуру полуинтвервалом.

Запустим рекурсивную процедуру от всего полуинтервала (то есть от корневой вершины).

Для текущего состояния проверяем следующие условия :

• Если текущий полуинтервал не пересекается с искомым, то возвращаем некоторое значение, которое не повлияет на результат запроса на запрашиваемом полуинтервале.

Например: текущий [math][1..3)[/math], а искомый [math][3 .. 5)[/math];

• Текущий полуинтервал совпадает, то возвращаем значение в текущей вершине.

Например: текущий и искомый [math][2..4)[/math];

• Иначе переходим к рекурсивным вызовам функций от детей вершины. При этом возвращаем значение на текущем полуинтервале, как функцию(соответствующую типу нашего запроса) от результатов выполнения на детях.

Замечание:

При передаче новых параметров следует изменять не только границы, за которые отвечает текущая вершина, но и границы запрашиваемого полуинтервала, чтобы на последующих шагах произошло полное совпадение полуинтервалов.

Так как каждый полуинтервал разбивается не более, чем на [math]O(\log n)[/math] полуинтервал (поскольку на каждом уровне дерева может быть не более двух полуинтервалов из разбиения, а всего уровней [math]\log n[/math] ), то данная реализация выполняется за [math]O(\log n)[/math].

Пример

Рассмотрим данный алгоритм на примере задачи RSQ(запрос суммы на отрезке).

При этом сумма на текущем полуинтервале(в случае вызова рекурсий от детей) равна сумме результатов выполнения операций на этих детях.

Пусть дерево содержит [math]8[/math] листьев и запрашиваемая сумма — это отрезок [math][1 .. 4][/math]( полуинтервал [math][1 .. 5)[/math]).

Рассмотрим данную рекурсию:

• Текущий полуинтервал [math][0 .. 8)[/math], он больше [math][1 .. 5)[/math] => переходим по рекурсивным вызовам на [math][0 .. 4)[/math] и [math][4 .. 8)[/math]

• [math][0 .. 4)[/math] выходит за границы[math] [1 .. 5)[/math], [math][4 .. 8)[/math] выходит за границы [math][1 .. 5)[/math] => переходим по рекурсивным вызовам на [math][0 .. 2)[/math], [math][2 .. 4)[/math] и [math][4 .. 6)[/math], [math][6 .. 8)[/math].

• [math][0 .. 2)[/math] выходит за границы [math][1 .. 5)[/math] => переходим в листья [math]0, 1 [/math]; [math][2 .. 4)[/math] целиком внутри [math][1 .. 5)[/math] => возвращаем значение в [math][2 .. 4)[/math]; [math][6 .. 8)[/math] не пересекается с [math][1 .. 5)[/math] => возвращаем нулевое значение; [math][4 .. 6)[/math] выходит за границы [math][1 .. 5)[/math] => переходим к листьям [math]4[/math] и [math]5[/math].

• листья [math]5[/math] и [math]0[/math] не пересекается с полуинтервалом [math][1 .. 5)[/math] => возвращаем нулевое значение, а листья [math]4[/math] и [math]1[/math] целиков внутри [math][1 .. 5)[/math] => возвращаем значения в этих листьях.

Реализация

Рассмотрим реализацию задачи RSQ.

 int get_sum (int [math]node[/math], int [math]a[/math], int [math]b[/math])
 {
       // Используем в реализаций полуинтервалы 
       
       [math]l[/math] = tree[[math]node[/math]].left;
       [math]r[/math] = tree[[math]node[/math]].right; 
       if  [math][l, r)\bigcap [a, b)[/math] == [math] \varnothing[/math]
           return 0;
       if [math][l, r)[/math] == [math][a, b)[/math]
           return tree[[math]node[/math]];
       int [math]m[/math] = ([math]l[/math] + [math]r[/math]) / 2;
       return get_sum ([math]node[/math] * 2 + 1, [math]a[/math], min([math]b[/math], [math]m[/math]))
           + get_sum ([math]node[/math] * 2 + 2, max([math]a[/math], [math]m[/math]), [math]b[/math]);
 } 

Ссылки

MAXimal :: algo :: Дерево отрезков

Дерево отрезков — Википедия

Визуализатор дерева отрезков