Группа

Определение:

Моноид [math]\langle G,\cdot\rangle[/math] называется группой, если для каждого элемента существует обратный: [math]\forall x\in G : \exists x^{-1} \in G : x\cdot x^{-1}=x^{-1}\cdot x=e[/math] где [math]e[/math] — нейтральный элемент моноида.

Утверждение (О единственности обратного элемента):

В группу для каждого элемента существует единственный обратный элемент.

[math]\triangleright[/math]

Действительно, пусть [math]y_1[/math] и [math]y_2[/math] — два обратных к [math]x[/math] элемента. Тогда имеем: [math]y_1 = y_1\cdot e = y_1\cdot (x \cdot y_2) = (y_1\cdot x)\cdot y_2 = e\cdot y_2 = y_2[/math]

[math]\triangleleft[/math]

Примером группы является множество действительных чисел [math]\mathbb{R}[/math] c операцией сложения (но не умножения -- 0 не имеет в этом случае обратного элемента).

Абелева группа

Определение:

Группа [math]G[/math] называется абелевой, если ее операция коммутативна: для любых [math]a,b\in G[/math] выполнено [math]a\cdot b = b\cdot a[/math]. Абелевы группы иногда называют аддитивными, обозначая групповую операцию как [math]a+b[/math], обратный элемент как [math]-a[/math], нейтральный как [math]0[/math]. При этом запись [math]a-b[/math] понимают как [math]a+(-b)[/math].

Примером абелевой (аддитивной) группы является группа вещественных чисел с операцией сложения. Примером неабелевой — группа обратимых матриц с операцией обычного матричного умножения.

Конечная группа

Определение:

Группа называется конечной, если множество ее элементов конечно. Мощность множества элементов группы [math]G[/math] называют порядком группы и обозначают [math]\vert G\vert[/math].

Примеры групп

Группа целых чисел [math]\mathbb{Z}[/math]

Множество целых чисел с обычной операцией сложения образуют аддитивную группу. Нейтральный элемент — 0, обратным к [math]a[/math] является [math]-a[/math].

Группа остатков по модулю [math]n[/math] — [math]\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}[/math]

Множество целых чисел от нуля до [math]n-1[/math] включительно с операцией сложения по модулю [math]n[/math] образует абелеву группу. Пишут

[math]3+4\equiv 2 \mod 5[/math].

Нейтральным элементом является 0, обратным к [math]a[/math] является [math]n-a[/math].

Примеры неабелевых групп

Группа движений плоскости [math]Isom(\mathbb{R}^2)[/math]

Рассмотрим плоскость [math]\mathbb{R}^2[/math] с введенной на ней метрикой [math]\rho[/math]. Биективное отображение [math]\phi:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2[/math] называется движением (изометрией), если оно сохраняет расстояния:

[math]\forall x,y\in\mathbb{R}^2 : \rho(\phi(x),\phi(y)) = \rho(x,y)[/math].

Множество всех движений плоскости с операцией композиции отображений образует группу движений плоскости. Нейтральный элемент — тождественное отображение. Обратный — обратное отображение.

Группа симметрий фигуры

Если на плоскости (или вообще в любом метрическом пространстве) рассмотреть множество точек [math]F[/math], то можно выделить подмножество [math]G[/math] всех движений данного пространства, переводящих [math]F[/math] в себя. [math]G[/math] вместе с операцией композиции отображений образуют группу симметрий фигуры [math]F[/math].

Группа перестановок [math]S_n[/math] (симметрическая группа степени [math]n[/math])

Рассмотрим множество [math]S_n[/math] всех биекций множества [math]A=\lbrace 1,2,...,n\rbrace[/math] в себя. Вместе с операцией композиции отображений оно образует группу перестановок [math]S_n[/math]. Порядок [math]S_n[/math] равен [math]n![/math]. Таким образом, группа перестановок является конечной неабелевой группой.

Для перестановки вводят понятие знака (четности) перестановки. Перестановка называется четной (знак +1), если осуществляется четным числом транспозиций, и нечетной(знак -1) в противном случае. При композиции перестановок их знаки перемножаются.

Группа четных перестановок [math]A_n[/math] (знакопеременная группа степени [math]n[/math])

Образована всеми перестановками со знаком +1. Композиция не выводит из множества, т.к. при композиции знаки перестановок перемножаются.

Группа невырожденных матриц(общая линейная группа) [math]n\times n[/math] - [math]GL_n (GL(n), GL(\mathbb{K},n))[/math]

Невырожденные матрицы над полем [math]\mathbb{K}[/math] ([math]\mathbb{R},\mathbb{C},\mathbb{Z}_p...[/math]) вместе с операцией матричного умножения образуют группу. Нейтральным элементом является единичная матрица, обратным — обратная матрица.

Группа матриц [math]n\times n[/math] с единичным определителем (специальная линейная группа) - [math]SL_n (SL(n), SL(\mathbb{K},n))[/math]

Поскольку при перемножении матриц перемножаются и их определители, матричное умножение не выводит из множества матриц с единичным определителем, и это множество образует группу (учитывая существование единичных и обратных матриц). Нейтральный элемент — единичная матрица, обратный — обратная матрица.