|
|
| Строка 14: |
Строка 14: |
| | | | |
| | Примером группы является множество действительных чисел <tex>\mathbb{R}</tex> c операцией сложения (но не умножения -- 0 не имеет в этом случае обратного элемента). | | Примером группы является множество действительных чисел <tex>\mathbb{R}</tex> c операцией сложения (но не умножения -- 0 не имеет в этом случае обратного элемента). |
| − |
| |
| − | == Абелева группа ==
| |
| − | {{Определение
| |
| − | |definition=
| |
| − | Группа <tex>G</tex> называется '''абелевой''', если ее операция коммутативна: для любых <tex>a,b\in G</tex> выполнено <tex>a\cdot b = b\cdot a</tex>. Абелевы группы иногда называют '''аддитивными''', обозначая групповую операцию как <tex>a+b</tex>, обратный элемент как <tex>-a</tex>, нейтральный как <tex>0</tex>. При этом запись <tex>a-b</tex> понимают как <tex>a+(-b)</tex>.
| |
| − | }}
| |
| − |
| |
| − | Примером абелевой (аддитивной) группы является группа вещественных чисел с операцией сложения. Примером неабелевой {{---}} группа обратимых матриц с операцией обычного матричного умножения.
| |
| − |
| |
| − | == Конечная группа ==
| |
| − | {{Определение
| |
| − | |definition=
| |
| − | Группа называется '''конечной''', если множество ее элементов конечно. Мощность множества элементов группы <tex>G</tex> называют порядком группы и обозначают <tex>\vert G\vert</tex>.
| |
| − | }}
| |
| − |
| |
| − | == Примеры групп ==
| |
| − | === Группа целых чисел <tex>\mathbb{Z}</tex> ===
| |
| − | Множество целых чисел с обычной операцией сложения образуют аддитивную группу. Нейтральный элемент {{---}} 0, обратным к <tex>a</tex> является <tex>-a</tex>.
| |
| − |
| |
| − | === Группа остатков по модулю <tex>n</tex> {{---}} <tex>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</tex> ===
| |
| − | Множество целых чисел от нуля до <tex>n-1</tex> включительно с операцией сложения по модулю <tex>n</tex> образует абелеву группу.
| |
| − | Пишут
| |
| − | :<tex>3+4\equiv 2 \mod 5</tex>.
| |
| − | Нейтральным элементом является 0, обратным к <tex>a</tex> является <tex>n-a</tex>.
| |
| − |
| |
| − | == Примеры неабелевых групп ==
| |
| − | === Группа движений плоскости <tex>Isom(\mathbb{R}^2)</tex> ===
| |
| − | Рассмотрим плоскость <tex>\mathbb{R}^2</tex> с введенной на ней метрикой <tex>\rho</tex>. Биективное отображение <tex>\phi:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2</tex> называется движением (изометрией), если оно сохраняет расстояния:
| |
| − | :<tex>\forall x,y\in\mathbb{R}^2 : \rho(\phi(x),\phi(y)) = \rho(x,y)</tex>.
| |
| − | Множество всех движений плоскости с операцией композиции отображений образует группу движений плоскости. Нейтральный элемент {{---}} тождественное отображение. Обратный {{---}} обратное отображение.
| |
| − |
| |
| − | === Группа симметрий фигуры ===
| |
| − | Если на плоскости (или вообще в любом [[метрическое пространство|метрическом пространстве]]) рассмотреть множество точек <tex>F</tex>, то можно выделить подмножество <tex>G</tex> всех движений данного пространства, переводящих <tex>F</tex> в себя. <tex>G</tex> вместе с операцией композиции отображений образуют группу симметрий фигуры <tex>F</tex>.
| |
| − |
| |
| − | === Группа перестановок <tex>S_n</tex> (симметрическая группа степени <tex>n</tex>) ===
| |
| − | Рассмотрим множество <tex>S_n</tex> всех биекций множества <tex>A=\lbrace 1,2,...,n\rbrace</tex> в себя. Вместе с операцией композиции отображений оно образует группу перестановок <tex>S_n</tex>. Порядок <tex>S_n</tex> равен <tex>n!</tex>.
| |
| − | Таким образом, группа перестановок является конечной неабелевой группой.
| |
| − |
| |
| − | Для перестановки вводят понятие знака (четности) перестановки. Перестановка называется четной (знак +1), если осуществляется четным числом транспозиций, и нечетной(знак -1) в противном случае. При композиции перестановок их знаки перемножаются.
| |
| − |
| |
| − | === Группа четных перестановок <tex>A_n</tex> (знакопеременная группа степени <tex>n</tex>) ===
| |
| − | Образована всеми перестановками со знаком +1. Композиция не выводит из множества, т.к. при композиции знаки перестановок перемножаются.
| |
| − |
| |
| − | === Группа невырожденных матриц(общая линейная группа) <tex>n\times n</tex> - <tex>GL_n (GL(n), GL(\mathbb{K},n))</tex> ===
| |
| − | Невырожденные матрицы над [[поле|полем]] <tex>\mathbb{K}</tex> (<tex>\mathbb{R},\mathbb{C},\mathbb{Z}_p...</tex>) вместе с операцией матричного умножения образуют группу. Нейтральным элементом является единичная матрица, обратным {{---}} обратная матрица.
| |
| − |
| |
| − | === Группа матриц <tex>n\times n</tex> с единичным определителем (специальная линейная группа) - <tex>SL_n (SL(n), SL(\mathbb{K},n))</tex> ===
| |
| − | Поскольку при перемножении матриц перемножаются и их определители, матричное умножение не выводит из множества матриц с единичным определителем, и это множество образует группу (учитывая существование единичных и обратных матриц). Нейтральный элемент {{---}} единичная матрица, обратный {{---}} обратная матрица.
| |
| | | | |
| | __NOTOC__ | | __NOTOC__ |
| | [[Категория: Теория групп]] | | [[Категория: Теория групп]] |
