Ортогональный поиск — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Сбалансированное дерево поиска)
Строка 24: Строка 24:
 
Переходим к двумерному случаю. Пусть дано некоторое множество точек на плоскости. Нам необходимо ответить, какие именно из них лежат в некотором заданном прямоугольнике.
 
Переходим к двумерному случаю. Пусть дано некоторое множество точек на плоскости. Нам необходимо ответить, какие именно из них лежат в некотором заданном прямоугольнике.
  
Для этого возьмем любое сбалансированное дерево поиска и слегка модернизируем его для более быстрой работы.
+
Для этого возьмем любое сбалансированное дерево поиска и наполним его точками <tex>(x, y)</tex> из множества. В качестве ключа будет использоваться <tex>x</tex>-координата точки. Теперь слегка модернизируем дерево: в каждой вершине дерева будем хранить отсортированный по <tex>y</tex>-координате массив точек, которые содержатся в соответствующем поддереве. В такой структуре данных поиск точек в заданном прямоугольнике <tex>(x_{min}, x_{max}) \times (y_{min}, y_{max})</tex> будет выглядеть следующим образом:
 
+
# Выберем из дерева поиска те точки, <tex>x</tex>-координата которых лежит в интервале <tex>(x_{min}, x_{max})</tex>. Сделаем это точно так же, как делается [[Реализация запроса в дереве отрезков сверху|запрос сверху в дереве отрезков]]. Из аналогии с деревом отрезков следует, что мы ответ мы получим в виде <tex>O(\log n)</tex> поддеревьев дерева поиска.
В каждом узле будем хранить точки, которые входят в его поддерево.
+
# Для каждого из полученных поддеревьев обратимся к массиву содержащихся в нем точек и запустим от него приведенную выше функцию <tex>range{\_}search(y_{min}, y_{max})</tex>. Все полученные таким образом точки и будут составлять ответ.
  
 
Теперь для ответа нам нужно спуститься отрезком по дереву и, если все поддерево лежит в отрезке, сразу выдавать его, если нет - спускаться дальше.
 
Теперь для ответа нам нужно спуститься отрезком по дереву и, если все поддерево лежит в отрезке, сразу выдавать его, если нет - спускаться дальше.

Версия 16:35, 19 мая 2012

Простейший случай

Пусть дана прямая с точками на ней и отрезок. Точки даны в отсортированном порядке. Необходимо указать, какие из изначальных точек лежат на этом отрезке.

Line with dots and segment.png

Данная задача решается с помощью функций из STL - upper_bound и lower_bound.

upper_bound возвращает наименьшее значение больше данного, lower_bound - наибольшее значение меньше данного.

Рассмотрим на примере:

Upper bound and lower bound.png

Код реализации:

template<class RauIter, class OutIter, class Scalar> OutIter range_search(RauIter p, RauIter q, OutIter out)
{
   return std::copy(lower_bound(p, q, l), upper_bound(p, q, r), out);
}

Сбалансированное дерево поиска

Переходим к двумерному случаю. Пусть дано некоторое множество точек на плоскости. Нам необходимо ответить, какие именно из них лежат в некотором заданном прямоугольнике.

Для этого возьмем любое сбалансированное дерево поиска и наполним его точками [math](x, y)[/math] из множества. В качестве ключа будет использоваться [math]x[/math]-координата точки. Теперь слегка модернизируем дерево: в каждой вершине дерева будем хранить отсортированный по [math]y[/math]-координате массив точек, которые содержатся в соответствующем поддереве. В такой структуре данных поиск точек в заданном прямоугольнике [math](x_{min}, x_{max}) \times (y_{min}, y_{max})[/math] будет выглядеть следующим образом:

  1. Выберем из дерева поиска те точки, [math]x[/math]-координата которых лежит в интервале [math](x_{min}, x_{max})[/math]. Сделаем это точно так же, как делается запрос сверху в дереве отрезков. Из аналогии с деревом отрезков следует, что мы ответ мы получим в виде [math]O(\log n)[/math] поддеревьев дерева поиска.
  2. Для каждого из полученных поддеревьев обратимся к массиву содержащихся в нем точек и запустим от него приведенную выше функцию [math]range{\_}search(y_{min}, y_{max})[/math]. Все полученные таким образом точки и будут составлять ответ.

Теперь для ответа нам нужно спуститься отрезком по дереву и, если все поддерево лежит в отрезке, сразу выдавать его, если нет - спускаться дальше.

Квадро дерево

Инкрементальное квадро дерево