Лемма о соотношении coNP и IP

Определение:

[math]\#SAT=\{\langle \varphi, k \rangle | \varphi[/math] имеет ровно [math]k[/math] удовлетворяющих наборов [math]\}[/math].

Введём понятие арифметизации булевых формул. Пусть нам дана формула [math]\phi(x_1 \ldots x_n)[/math]. Сделаем следующие преобразования и получим формулу [math]A_\phi(x_1, x_2, \ldots, x_n)[/math]:

1. [math] x_i \to x_i[/math];
2. [math] \lnot x \to 1 - x[/math];
3. [math]\Phi \land \Psi \to A_\Phi \cdot A_\Psi[/math];
4. [math]\Phi \lor \Psi \to 1 - (1 - A_\Phi) \cdot (1 - A_\Psi)[/math].

Заметим, что длина формулы при этом возрастёт не более, чем в константу раз.

Лемма (1):

[math]\phi(x_1 \ldots x_n) = A_\phi(x_1, \ldots, x_n)[/math].

Лемма (2):

[math]\sum\limits_{x_1 = 0}^1 \ldots \sum\limits_{x_n = 0}^1 A_\phi(x_1, \ldots, x_n)=k \iff \langle\phi,k\rangle \in \#SAT[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Следует из леммы (1).

[math]\triangleleft[/math]

Лемма (3):

[math]\#SAT \in \mathrm{IP}[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Для доказательства леммы построим программы Verifier и Prover из определения класса [math]\mathrm{IP}[/math]. Сперва арифметизуем формулу [math]\phi[/math]. Пусть полученный полином [math]A(x_1, x_2, ..., x_n)[/math] имеет степень [math]d[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Лемма (4):

[math]\mathrm{coNP} \subset \mathrm{IP}[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Сведём язык [math]TAUT[/math] к языку [math]\#SAT[/math] следующим образом: [math]\phi \mapsto \langle \phi, 2^k \rangle [/math], где [math]k[/math] — количество различных переменных в формуле [math]\phi[/math]. Очевидно, что [math]\phi \in TAUT \iff \langle \phi, 2^k \rangle \in \#SAT[/math]. По лемме (3) [math]\#SAT \in \mathrm{IP}[/math]. Тогда [math]TAUT \in \mathrm{IP}[/math]. Так как [math]TAUT \in \mathrm{coNPC}[/math], то [math]\mathrm{coNP} \subset \mathrm{IP}[/math].

[math]\triangleleft[/math]