Слово Фибоначчи

Определение

Определение:

Морфизмом называется отображение [math]h_0 : \Sigma^* \rightarrow \Sigma^*[/math], которое каждой букве [math]\lambda[/math] из алфавита [math]\Sigma[/math] ставит в соответствие строку [math]h(\lambda)[/math] из множества [math]\Sigma^{+}[/math], а затем данное отображение распространяется на [math]\Sigma^*[/math] следующим образом: [math]h(s) = \left\{ \begin{array}{ll} h_0(s[1])h_0(s[2])...h_0(s[n]), & s \in \Sigma^+ \\ \varepsilon, & s \in \Sigma^0 \\ \end{array} \right. [/math]

Любой морфизм [math]h[/math] можно применять к исходной строке [math]s[/math] любое число раз, тем самым генерируя последовательность итераций [math]h^{*}(s)[/math] по следующему правилу:

[math]h^{*}(s) = \{h^0(s), h^1(s),...\}[/math].

где [math]h^0(s) = s[/math] и для любого целого [math]k \geq 1 :[/math] [math] h^k(s) = h(h^{k-1}(s))[/math].

Например:

• [math]\Sigma = \{a,b\}, h(a) = a, h(b) = ab[/math].

• [math]h^*(a) = \{a,a,...\}[/math]

• [math]h^*(b) = \{b, ab, a^2b,..., a^kb...\}[/math]

Определение:

Строками Фибоначчи являются строки над алфавитом [math]\Sigma = \{a, b\}[/math], полученные последовательным применением морфизма [math]h[/math]: [math]h(a) = ab[/math] [math]h(b) = a[/math] к строке [math]x_0 = b[/math], т.е. [math]h^*(b)[/math].

Первые несколько строк Фибоначчи:

• [math]f_0 = b[/math]
• [math]f_1 = a[/math]
• [math]f_2 = ab[/math]
• [math]f_3 = aba[/math]
• [math]f_4 = abaab[/math]
• [math]f_5 = abaababa[/math]

Лемма

Лемма:

Строки Фибоначчи удовлетворяют рекуррентному соотношению [math]f_n = f_{n-1}f_{n-2}, n \geq 2[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Доказательство нетрудно получить методом математической индукции. База: При [math]n = 2[/math] равенство очевидно. Переход: Пусть [math]n \gt 2[/math] и [math]f_n = f_{n-1}f_{n-2}[/math]. [math]f_{n+1} = h(f_n) = h(f_{n-1}f_{n-2})[/math]. Т.к. h — линейна (т.е. [math]h(xy) = h(x)h(y)[/math]), то можно продолжить равенство: [math]f_{n+1} = h(f_{n-1})h(f_{n-2}) = f_{n}f_{n-1}[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Также нетрудно заметить, что длины строк Фибоначчи совпадают с числами Фибоначчи.

См. также

Слово Туэ-Морса

Источники

• Билл Смит. Методы и алгоритмы вычислений на строках. Пер. с англ. — М.:ООО"И.Д.Вильямс", 2006. — 496 с.: ил. — Парал. тит. англ. ISBN 5-8459-1081-1 (рус.)