Бюрократы, editor, Администраторы
422
правки
Изменения
Да хватит уже удовлетворять формулы!
Так как функция <tex>f</tex> работает полиномиальное время, и <tex>|\phi|=|y|</tex> (<tex>|y|</tex> — длина вектора <tex>y</tex>), то <tex>f(\langle\phi,y\rangle) \le q(|\phi|)</tex>, где <tex>q</tex> — полином.
<tex>S\in \mathrm{SPARSE}</tex>. Следовательно, следовательно <tex>\forall n \; |S \cap \Sigma^n|\le p(n)</tex>, где <tex>p</tex> — некоторый полином.
Тогда <tex>|\{x\in S \bigm| |x| \le q(|\phi|)\}| \le \sum\limits_{i=1}^{q(|\phi|)} p(i) = r(|\phi|)</tex>, где <tex>r</tex> — также полином.
Опишем алгоритм для нахождения лексикографически минимальной строки <tex>x</tex>, удовлетворяющей формулу формуле <tex>\phi</tex>.
Пусть <tex>n=|\phi|, r=r(|\phi|)</tex>. Изначально область поиска для <tex>x</tex> — все строки длины <tex>n</tex>. Опишем одну итерацию поиска.
Рассмотрим два случая:
# <tex>\exists i \ne j \, : z_i=z_j</tex>. Строки <tex>z_i</tex> и <tex>z_j</tex> либо обе лежат в <tex>S</tex>, либо обе не лежат в <tex>S</tex>. Тогда по вышеуказанной причине <tex>x\notin (w_i, w_j]</tex>. Значит мы можем исключить этот полуинтервал из рассматриваемого множества. Таким образом, мы удаляем не менее <tex>\frac 1{r+1}</tex> часть множества подстановок.# <tex>z_i \ne z_j \, \forall i \ne j</tex>. Как было показано выше, если <tex>z_0</tex> или <tex>z_1</tex> лежат лежит в <tex>S</tex>, то все последующие <tex>z_i</tex> тоже лежат в <tex>S</tex>, но тогда <tex>S</tex> содержит <tex>r+1</tex> строку длины не более, чем <tex>q(|\phi|)</tex>, что противоречит условию <tex>|\{x\in S\, |\, |x| \le q(|\phi|)\}| \le r(|\phi|)</tex>. Следовательно, <tex>x\notin[w_0,w_1]</tex>, то есть его можно убрать из рассмотрения.
В обоих случаях мы сузили область поиска как минимум на <tex>\frac 1{r+1}</tex> её размера.
Будем повторять эту процедуру до тех пор, пока не останется не более <tex>r+1</tex> строки, которые мы можем проверить за полиномиальное время. Если какая-то из них удовлетворила формулу формуле <tex>\phi</tex>, то <tex>x=min(w_i), w_i</tex> удовлетворяет <tex>\phi</tex>. Иначе, <tex>x</tex> не существует.
Оценим время работы нашего алгоритма. После <tex>k</tex> итераций у нас останется не более <tex>2^n(1-\frac1{r+1})^k</tex> строк. Оценим <tex>k</tex>.
<tex>2^n(1-\frac1{r+1})^k \simeq 1</tex>. Отсюда <tex>k=O(rn)</tex> (это можно получить, выразив <tex>k</tex> через <tex>n</tex> и <tex>r</tex> и воспользовавшись [http://ru.wikipedia.org/wiki/Ряд_Тейлора#.D0.A0.D1.8F.D0.B4.D1.8B_.D0.9C.D0.B0.D0.BA.D0.BB.D0.BE.D1.80.D0.B5.D0.BD.D0.B0_.D0.BD.D0.B5.D0.BA.D0.BE.D1.82.D0.BE.D1.80.D1.8B.D1.85_.D1.84.D1.83.D0.BD.D0.BA.D1.86.D0.B8.D0.B9 формулой Тейлора] для логарифма).
Таким образом, мы можем разрешить язык <tex>\mathrm{LSAT}</tex> за полиномиальное время, найдя лексикографически минимальную строку, удовлетворяющую формулуформуле, и сравнив её с нашим аргументом. Так как <tex>\mathrm{LSAT}\in \mathrm{NPC}</tex>, то мы можем решить любую задачу из <tex>\mathrm{NP}</tex> за полиномиальное время, а значит <tex>\mathrm{P}=\mathrm{NP}</tex>.
}}
