Периодичность цепных дробей

Теорема:

Пусть [math]\alpha[/math] приведённая квадратичная иррациональность, тогда её цепная дробь периодична.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Число [math]\alpha[/math] представимо в виде [math]\frac{a+\sqrt{D}}{c}, a,c,D \in \mathbb{Z}[/math]. Назовём это видом Х. Рассмотрим [math]\alpha_1=\frac{1}{\alpha-q}, q=[\alpha][/math]. Заметим, что [math]\alpha_1\gt 1[/math]. Преобразуем: [math]\alpha_1=\frac{c}{a+\sqrt{D}-qc}=\frac{c(a-qc-\sqrt{D})}{(a-qc)^2-D}[/math]. Заметим, что [math](a-qc)^2-D\vdots c[/math], значит [math]\alpha_1[/math] представима в виде Х. Докажем, что [math]\alpha_1[/math] приведённая. [math]\overline{\alpha_1}=\frac{1}{\overline{\alpha}-[\alpha]}[/math]. Но [math]\overline{\alpha}\in (-1;0), [alpha]\gt 1[/math], значит [math]\overline{\alpha_1}\in(-1;0)[/math]. Посмотрим теперь на возможные значения [math]a[/math] и [math]c[/math]. [math]\alpha-\overline{\alpha}=\frac{2\sqrt{D}}{c}[/math], откуда из возможных значения [math]\alpha, \overline{\alpha}[/math], следует [math]c\in(0;2\sqrt{D})[/math]. Теперь ограничим a. [math]\alpha+\overline{\alpha}=\frac{2a}{c}[/math], отсюда [math]a\gt 0[/math]. [math]\overline{\alpha}=\frac{a-\sqrt{D}}{c}\Rightarrow a \lt \sqrt{D}[/math]. Количество [math]a,c[/math] конечно, а количество[math]\alpha_n[/math] неограниченно. Значит в какой-то момент у нас зациклятся [math]\alpha_n[/math] и цепная дробь станет периодичной.

[math]\triangleleft[/math]

Теорема:

Пусть [math]\alpha[/math] приведённая квадратичная иррациональность, тогда её цепная дробь чисто периодична.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Докажем аналогичное утверждение [math]\alpha_n=\alpha_m\Rightarrow\alpha_{n-1}=\alpha_{m-1}[/math]. Введём [math]\beta_i=-\frac{1}{(\overline{\alpha_i})}\in(1;+\infty) \Rightarrow \alpha_i=-\frac{1}{(\overline{\beta_i})}[/math]. [math]\alpha_n=a_n+\frac{1}{\alpha_{n+1}}[/math] отсюда [math]-\frac{1}{(\overline{\beta_n})}=a_n-\overline{\beta_{n+1}}\Rightarrow\overline{\beta_{n+1}}=a_n+\frac{1}{(\overline{\beta_n})}[/math]. Получаем, что [math]\beta_{n+1}=a_n+\frac{1}{\beta_n}\Rightarrow[\beta_{n+1}]=a_n[/math] Осталось только записать переходы [math]\alpha_n=\alpha_m\Rightarrow\beta_n=\beta_m\Rightarrow a_{n-1}=a_{m-1}\Rightarrow\alpha_{n-1}=\alpha_{m-1}[/math]

[math]\triangleleft[/math]