PpmtnriLmax

Постановка задачи

1. Имеется [math]M[/math] однородных машин, работающих параллельно.
2. Есть [math]N[/math] работ, каждое имеет своё время появления [math]r_i[/math] и время окончания [math]d_i[/math].
3. Работа может быть прервана и продолжена позже.

Необходимо составить такое расписание, чтобы значение [math]L_{max} = max_{i=1}^n (C_i - d_i)[/math] было минимальным.

Решение

Рис. 1 - Cеть

Для начала научимся отвечать на следующий вопрос: пусть дано некоторое [math]L[/math], сможем ли мы составить расписание так, чтобы [math]L_{max} \le L[/math] и [math]\forall i : C_i \le d_i^L = L + d_i[/math]. Затем обратимся к проблеме нахождения такого расписания, что работа выполняется в интервале [math][r_i; d_i][/math].

Сведем эту задачу к поиску максимального потока в сети, построенной указанным ниже образом.

Пусть [math]t_1 \lt t_2 \lt \ldots \lt t_r[/math] - упорядоченная последовательность [math]r_i[/math] и [math]d_i[/math]. Определим интервалы [math]I_K = [t_K; t_{K+1}][/math] с длиной [math]T_K = t_{K+1} - t_K[/math] для всех [math]K = 1 \ldots r-1[/math].

Работам сопоставим свой тип вершин, а интервалам [math]I_K[/math] свой. Добавим две фиктивные вершины [math]s[/math] и [math]t[/math]. Из вершины [math]s[/math] в вершины с работами идут направленные ребра с пропускной способностью [math]p_i[/math], из вершин с интервалами в вершину [math]t[/math] идут направленные ребра с пропускной способностью [math]mT_K[/math]. Ребро между вершиной с работой и вершиной с интервалом существует, если [math]r_i \le t_K, t_{K+1} \le d_i[/math]. Пропускная способность этого ребра - [math]T_K[/math].