Цепная дробь — различия между версиями
(→Доказательства свойств) |
|||
Строка 95: | Строка 95: | ||
<tex>P_nQ_{n-1}-P_{n-1}Q_n=(-1)^{n+1}</tex>. | <tex>P_nQ_{n-1}-P_{n-1}Q_n=(-1)^{n+1}</tex>. | ||
|proof= | |proof= | ||
− | <tex>\left(\begin{array}{cc} P_n & P_{n-1} \\ Q_n & Q_{n-1} \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} a_{n+1} & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc} P_{n+1} & P_n \\ Q_{n+1} & Q_n \end{array}\right)</tex> | + | <tex>\left(\begin{array}{cc} P_n & P_{n-1} \\ Q_n & Q_{n-1} \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} a_{n+1} & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc} P_{n+1} & P_n \\ Q_{n+1} & Q_n \end{array}\right)</tex> по рекуррентным соотношениям для числителей и знаменателей подходящих дробей. |
+ | |||
+ | Возьмём детерминант левой и правой части. Получим : <tex>(P_nQ_{n-1}-P_{n-1}Q_n)(-1)=P_{n+1}Q_n-P_nQ_{n+1}</tex>. Так как при <tex>n=1:P_1Q_0-P_0Q_1=1</tex> то получаем, что лемма доказана. | ||
}} | }} | ||
[[Категория: Теория чисел]] | [[Категория: Теория чисел]] |
Версия 07:29, 3 июля 2010
Содержание
Определение
Определение: |
Цепная дробь — это выражение вида
|
Цепные дроби как приближение к числу
Подходящие дроби можно рассматривать как последовательные приближения к некоторому вещественному числу. При любых значениях
, удовлетворяющих требованиям определения цепной дроби, последовательность подходящих дробей имеет предел. Кроме того, скорость сходимости можно оценить как .Периодичность цепных дробей
Цепная дробь квадратичной иррациональности — периодична, а цепная дробь приведенной квадратичной иррациональности — чисто периодична.
Примеры разложения чисел в цепные дроби
Числитель и знаменатель цепной дроби можно записать в виде полиномов от переменных
. При этом, поскольку числитель каждой дроби является знаменателем следующей, полиномы для числителей и знаменателей имеют одинаковый вид. Таким образом, цепная дробь представима в виде , где — некоторый полином от переменной.Свойства цепных дробей
- — полином от переменной, состоящий из мономов.
- .
- .
- Для числителей и знаменателей
Доказательства свойств
Лемма (1): |
. |
Доказательство: |
Следовательно . . |
Лемма (2): |
— полином от переменной, состоящий из мономов. |
Доказательство: |
База. При : — полином от одной переменной с одним мономом. — два монома. Переход. Пусть верно, что в монома. Докажем, что в монома. В нет мономов, содержащих . Значит в слагаемых. |
Теорема (1): |
Доказательство: |
База: Пусть верно для всех . Докажем для .
Обобщим последнюю формулу и докажем по индукции. Пусть верно : .Докажем для больших :. Используя условие теоремы для получаем :
Следовательно получаем : . |
Лемма (3): |
. |
Доказательство: |
Эта формула аналогична формуле из Леммы 1, за исключением того, что "отщепляются" с другого конца. Для получения формулы достаточно скомбинировать результаты Леммы 1 и Теоремы 1. |
Лемма (4): |
. |
Доказательство: |
Возьмём детерминант левой и правой части. Получим : по рекуррентным соотношениям для числителей и знаменателей подходящих дробей. . Так как при то получаем, что лемма доказана. |