Факторгруппа — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м (переименовал «Факторгруппы» в «Факторгруппа»)
Строка 1: Строка 1:
 
{{Требует доработки
 
{{Требует доработки
−
|item1=(исправлено)Для примера факторгруппы надо: группа <tex>G</tex>, ее нормальная подгруппа <tex>H</tex> и группа-результат.
+
|item1=Требуется еще несколько примеров факторгрупп.
 +
|item2=Требуется пример группы <tex>G</tex> и ее подгруппы <tex>H</tex> (не нормальной), для которых <tex>G/H</tex> не является группой.
 
}}
 
}}
  
 
== Факторгруппа ==
 
== Факторгруппа ==
−
Рассмотрим [[группа|группу]] <tex>G</tex> и ее нормальную [[Подгруппа|подгруппу]] <tex>H</tex>. Пусть <tex>G/H</tex> - множество [[Смежные классы|смежных классов]] <tex>G</tex> по <tex>H</tex>. Определим в <tex>G/H</tex> групповую операцию по следующему правилу:
+
Рассмотрим [[группа|группу]] <tex>G</tex> и ее [[нормальная подгруппа|нормальную подгруппу]] <tex>H</tex>. Пусть <tex>G/H</tex> {{---}} множество [[Смежные классы|смежных классов]] <tex>G</tex> по <tex>H</tex>. Определим в <tex>G/H</tex> групповую операцию по следующему правилу.
 +
{{Определение
 +
|definition=
 +
'''Произведением''' смежностных классов <tex>aH</tex> и <tex>bH</tex> назовем смежностный класс <tex>(ab)H</tex>.
 +
}}
 +
 
 
{{Утверждение
 
{{Утверждение
 
|statement=
 
|statement=
−
произведением двух классов является класс, в который входит произведение представителей этих классов. Проверим корректность этого определения. Пусть <tex>aH,bH\in G/H,\,a_1=a\cdot h_a\in aH,\,b_1=b\cdot h_b\in bH</tex>. Докажем, что <tex>abH=a_1 b_1 H</tex>. Достаточно показать, что <tex>a_1\cdot b_1 \in abH</tex>.
+
Определение произведения смежных классов корректно. То есть произведение смежных классов не зависит от выбранных представителей <tex>a</tex> и <tex>b</tex>.
 +
|proof=
 +
Пусть <tex>aH,bH\in G/H,\,a_1=a\cdot h_a\in aH,\,b_1=b\cdot h_b\in bH</tex>. Докажем, что <tex>abH=a_1 b_1 H</tex>. Достаточно показать, что <tex>a_1\cdot b_1 \in abH</tex>.
 +
В самом деле, <tex>a_1\cdot b_1=a\cdot h_a\cdot b\cdot h_b=a\cdot b\cdot (b^{-1}\cdot h_a\cdot b)\cdot h_b</tex>. Элемент <tex>h = (b^{-1}\cdot h_a\cdot b)</tex> лежит в <tex>H</tex> по свойству нормальности <tex>H</tex>. Следовательно, <tex>a\cdot b\cdot h\cdot h_b\in abH</tex>.
 
}}
 
}}
−
 
−
<tex>a_1\cdot b_1=a\cdot h_a\cdot b\cdot h_b=a\cdot b\cdot (b^{-1}\cdot h_a\cdot b)\cdot h_b=a\cdot b\cdot h\cdot h_b\in abH</tex>
 
  
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
−
Таким образом, фактормножество <tex>G/H</tex> образует подгруппу, которая называется '''факторгруппой''' <tex>G</tex> по <tex>H</tex> . Нейтральным элементом является <tex>H</tex>, обратным к <tex>aH</tex> - <tex>a^{-1}H</tex>.
+
Таким образом, множество смежных классов <tex>G/H</tex> с введенной на нем операцией произведения образует группу, которая называется '''факторгруппой''' <tex>G</tex> по <tex>H</tex> . Нейтральным элементом является <tex>H</tex>, обратным к <tex>aH</tex> {{---}} <tex>a^{-1}H</tex>.
 
}}
 
}}
  
 
=== Примеры ===
 
=== Примеры ===
−
* пусть для группы <tex>G=\mathbb{Z}</tex> ее нормальной подгруппой будет <tex>H=n\mathbb{Z}</tex>, тогда <tex>G/H=\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</tex>(группы вычетов по модулю n) будет являться факторгруппой G по H.
+
* Рассмотрим <tex>G=\mathbb{Z}</tex> и её нормальную подгруппу <tex>H=n\mathbb{Z}</tex>, тогда <tex>G/H=\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</tex> (группы вычетов по модулю <tex>n</tex>) будет являться факторгруппой G по H.
  
  
 
[[Категория: Теория групп]]
 
[[Категория: Теория групп]]

Версия 18:05, 6 июля 2010

Эта статья требует доработки!
  1. Требуется еще несколько примеров факторгрупп.
  2. Требуется пример группы [math]G[/math] и ее подгруппы [math]H[/math] (не нормальной), для которых [math]G/H[/math] не является группой.

Если Вы исправили некоторые из указанных выше замечаний, просьба дописать в начало соответствующего пункта (Исправлено).

Факторгруппа

Рассмотрим группу [math]G[/math] и ее нормальную подгруппу [math]H[/math]. Пусть [math]G/H[/math] — множество смежных классов [math]G[/math] по [math]H[/math]. Определим в [math]G/H[/math] групповую операцию по следующему правилу.

Определение:
Произведением смежностных классов [math]aH[/math] и [math]bH[/math] назовем смежностный класс [math](ab)H[/math].


Утверждение:
Определение произведения смежных классов корректно. То есть произведение смежных классов не зависит от выбранных представителей [math]a[/math] и [math]b[/math].
[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]aH,bH\in G/H,\,a_1=a\cdot h_a\in aH,\,b_1=b\cdot h_b\in bH[/math]. Докажем, что [math]abH=a_1 b_1 H[/math]. Достаточно показать, что [math]a_1\cdot b_1 \in abH[/math].

В самом деле, [math]a_1\cdot b_1=a\cdot h_a\cdot b\cdot h_b=a\cdot b\cdot (b^{-1}\cdot h_a\cdot b)\cdot h_b[/math]. Элемент [math]h = (b^{-1}\cdot h_a\cdot b)[/math] лежит в [math]H[/math] по свойству нормальности [math]H[/math]. Следовательно, [math]a\cdot b\cdot h\cdot h_b\in abH[/math].
[math]\triangleleft[/math]


Определение:
Таким образом, множество смежных классов [math]G/H[/math] с введенной на нем операцией произведения образует группу, которая называется факторгруппой [math]G[/math] по [math]H[/math] . Нейтральным элементом является [math]H[/math], обратным к [math]aH[/math] — [math]a^{-1}H[/math].


Примеры

  • Рассмотрим [math]G=\mathbb{Z}[/math] и её нормальную подгруппу [math]H=n\mathbb{Z}[/math], тогда [math]G/H=\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}[/math] (группы вычетов по модулю [math]n[/math]) будет являться факторгруппой G по H.
Источник — «http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=Факторгруппа&oldid=2564»