Функции ограниченной вариации

<wikitex> Рассмотрим $f : [a, b] \to \mathbb{R}$ и ее разбиение $\tau: a = x_0 < x_1 \dots < x_n = b$

Определение:

Вариацией функции $f$ по разбиению $\tau$ называется $\bigvee\limits_a^b (f, \tau) = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1}

{{Теорема |statement= $f \in \bigvee (a, b) \Leftrightarrow f = f_1 - f_2$, где $f_{1,2}$ — монотонно неубывающие функции.
$f$ — функция ограниченной вариации тогда и только тогда, когда ее можно представить в виде разности монотонно неубывающих функций. |proof= Некоторые вспомогательные утверждения:

Утверждение:

Пусть $f$ монотонно не убывает, тогда она ограниченной вариации.

[math]\triangleright[/math]

По определению неубывания, $

[math]\triangleleft[/math]

Утверждение:

Пусть $f'$ опредлена на $(a, b)$ и ограничена, тогда $f$ — функция ограниченной вариации.

2) Пусть f' ограничена на (a, b). |f'| \le M \Rightarrow |f(x_{k+1}) - f(x_k)| = |f'(\tilda x_k)| \Delta x_k \Rightarrow \bigvee_a^b (f) < \infty (Более того, f' — суммируема, поэтому вариация ограничена)

Не любая непрерывная функция имеет ограниченную вариацию: f(x) = x \sin \frac 1x, [0, 1] f(0) = 0

f'(x) = \sin \frac 1x - \frac 1x \cos \frac 1x Производная ограничена на [a,

ТУТ ХРЕНЬ КАКАЯ-ТО

Теорема a < b < c \Rightarrow \bigvee\limits_a^c (f) = \bigvee\limits_a^b (f) = \bigvee\limits_b^c (f) — аддитивность вариации. Док-во: \forall \tau_1: a = x_0 < \dots < x_p = b, \forall \tau_2: b = x_p < \dots < x_{p + m} = c

\tau_1 \cup \tau_2 = a = x_0 < \dots < x_{p+m} = c

По определению полной вариации: \forall \varepsilon > 0 \exists \tau_1, \tau_2: \bigvee_a^b (f) - \varepsilon < \bigvee_a^b (f, \tau_1) \bigvee_b^c (f) - \varepsilon < \bigvee_b^c (f, \tau_2)

\bigvee_a^b (f, \tau_1) + \bigvee_b^c (f, \tau_2) = \bigvee_a^c (f, \tau_1 \cup \tau_2) - 2 \varepsilon < \bigvee_a^c (f), в пределе </wikitex>