1679
правок
Изменения
Нет описания правки
}}
{{Утверждение
|statement=
Пусть $f'$ опредлена на $(a, b)$ и ограничена, тогда $f$ — функция ограниченной вариации.
|proof=
$f' < M \Rightarrow \bigvee_a^b (f) \le M(b - a) \le + \infty$
}}
{{Утверждение
|statement=
Не все непрерывные функции имеют ограниченную вариацию.
|proof=
Возьмем $f(x) = x \sin(\frac 1x), x \int [0; 1], f(0) = 0$
{{TODO|t=ЭМ, ТУТ КАКОЙ-ТО ТРЕШ}}
}}
{{Теорема
|about=аддитивность вариации
|statement=
Пусть $f(x) \in \bigvee(a, c)$ и $b \in [a, c]$, тогда $\bigvee\limits_a^c (f) = \bigvee\limits_a^b (f) = \bigvee\limits_b^c (f)$.
|proof=
1) Рассмотрим разбиения $\tau_1: a = x_0 < \dots < x_p = b, \tau_2: b = x_p < \dots < x_{p + m} = c$.
$ \tau_1 \cup \tau_2 = a = x_0 < \dots < x_{p+m} = c $.
Устремляя $\varepsilon$ к 0, получаем $ \bigvee\limits_a^b (f) + \bigvee\limits_b^c(f') \le \bigvee\limits_a^c (xf)$.2) Рассмотрим произвольное разбиение $\tau a = x_0 < \sin dots < x_n = c$. Заметим, что точка $b$ может не войти в это разбиение, поэтому получим из него разбиение $\frac 1x - tau' : a=x_0 < \frac 1x dots < x_p = b < x_{p+1} < \cos dots < x_{p+m} = c$. Пусть $\frac 1xПроизводная ограничена на [tau_1$ — разбиение $a=x_0 < \dots x_p=b$, а $\tau_2$ — разбиение $x_p = b \dots x_{p+m} = c$. Тогда:
$ \bigvee\limits_a^c (f, \tau) - \varepsilon \le \bigvee\limits_a^b (f) + \bigvee\limits_b^c (f) $. Устремляя $\varepsilon$ к 0, получим $ \bigvee\limits_a^c (f, \tau) \le \bigvee\limits_a^b (f) + \bigvee\limits_b^c (f) $. Объединяя этот результат с результатом 1 пункта, приходим к требуемому равенству.
}}
{{Теорема a < b < c |statement=$f \Rightarrow in \bigvee\limits_a^c (fa, b) = \bigvee\limits_a^b (Leftrightarrow f) = \bigvee\limits_b^c (f_1 - f_2$, где $f_{1,2}$ — монотонно неубывающие функции.<br>$f) $ — аддитивность функция ограниченной вариациитогда и только тогда, когда ее можно представить в виде разности монотонно неубывающих функций.Док-во: \forall \tau_1: a |proof= x_0 < \dots < x_p = b, \forall \tau_2: b = x_p < \dots < x_{p + m} = c \tau_1 \cup \tau_2 = a = x_0 < \dots < x_{p+m} = c
</wikitex>
