Определение ряда Фурье

L_p

Определение:

[math] L_p, (p \ge 1) [/math] — совокупность [math] 2\pi [/math]-периодических функций, суммируемых с [math] p [/math]-й степенью на промежутке [math] Q = [-\pi, \pi] [/math]. То есть, [math]L_p = \{ f | f(x + 2\pi) = f(x), \int\limits_Q |f|^p \lt +\infty \} [/math].

Определение:

Систему функций [math] 1,\ \cos x,\ \sin x,\ldots \cos nx,\ \sin nx, \ldots (n = 1, 2 \ldots)[/math] называют тригонометрической системой функций.

Каждая из этих функций ограниченная, [math] 2\pi [/math]-периодическая, следовательно, все функции принадлежат [math]L_p[/math].

Заметим, что, из-за [math] 2\pi [/math]-периодичности, [math] \int\limits_Q \cos nx dx = 0,\ \int\limits_Q \sin nx dx = 0 [/math].

Утверждение:

При [math] n \ne m [/math] : [math] \int\limits_Q \cos nx \sin mx dx = 0,\ \int\limits_Q \cos nx \cos mx dx = 0,\ \int\limits_Q \sin nx \sin mx dx = 0[/math], [math] \int\limits_Q dx = 2\pi,\ \int\limits_Q \cos^2 nx dx = \int\limits_Q \sin^2 nx dx = \pi [/math].

[math]\triangleright[/math]

Первые три равенства получаются двухкратным интегрированием по частям интеграла в левой части. Четвертое равенство очевидно, последние два получаются из предыдущих, так как [math] \cos^2 nx = \frac12 (1 + \cos 2nx),\ \sin^2 nx = \frac12 (1 - \cos 2nx) [/math].

[math]\triangleleft[/math]

Определение:

Тригонометрическим рядом называется ряд: [math]\frac{c_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty (c_n \cos nx + d_n \sin nx)[/math]. Если, начиная с какого-то места, [math] c_n = d_n = 0 [/math], то соответствующая сумма называется тригонометрическим полиномом.

Замечание (предел в пространстве [math]L_1[/math]): если [math]f_n, f \in L_1[/math], то [math] f = \lim\limits_{n \to \infty} f_n \iff \int\limits_Q |f_n - f| \xrightarrow[n \to \infty]{} 0 [/math].

Теорема:

Пусть тригонометрический ряд [math] \frac {a_0}{2} + \sum\limits_{n = 1}^{+\infty} (a_n \cos nx + b_n \sin nx) [/math] сходится в [math] L_1 [/math] и имеет суммой функцию [math] f [/math]. Тогда для него выполняются формулы Эйлера-Фурье: [math] a_0 = \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f,\ a_n = \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f(x) \cos nx dx,\ b_n = \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f(x) \sin nx dx [/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Формула для [math] a_0 [/math] очевидна. Пусть [math] S_n(x) = \frac {a_0}{2} + \sum\limits_{k = 1}^{n} (a_k \cos kx + b_k \sin kx) [/math]. По условию, [math] \int\limits_{Q} | f(x) - S_n(x) | dx \rightarrow 0 [/math]. Зафиксируем некоторое натуральное [math] p [/math]: [math] | \int\limits_{Q} (f(x) - S_n(x)) \cos px dx | \le \int\limits | f(x) - S_n(x) | dx \xrightarrow[n \rightarrow \infty]{} 0 [/math]. Значит, [math] \int\limits_{Q} f(x) \cos px dx - \int\limits_{Q} S_n(x) \cos px dx \rightarrow 0 [/math]. Если [math] n \gt p [/math], то [math] \int\limits_{Q} S_n(x) \cos px dx = \int\limits_{Q} a_p \cos^2 px dx = \pi a_p [/math]. Значит, [math] \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f(x) \cos px dx = a_p [/math]. Аналогично доказывается формула для [math] b_p [/math].

[math]\triangleleft[/math]

Определение:

Пусть функция [math] f \in L_1 [/math]. Ряд Фурье [math] f [/math] — тригонометрический ряд, коэффициенты которого вычислены по формулам Эйлера-Фурье.

Колмогоров построил пример суммируемой [math] 2\pi [/math]-периодической функции, ряд Фурье которой расходится в каждой точке. Отсюда возникает круг проблем, которые связаны с поиском условий, гарантирующих сходимость ряда Фурье в индивидуальной точке. Это тем более важно, учитывая, что существуют непрерывные [math] L_p [/math]-функции, ряды которых расходятся в бесконечном числе точек.

Карлесон доказал, что для функций из [math] L_2 [/math] (а такие функции автоматически [math]\in L_1[/math]) ряд Фурье сходится почти всюду.

Если функция является [math] 2T [/math]-периодической, то для нее соответствующей тригонометрической системой будет [math] 1,\ \cos \frac{\pi}{T} x,\ldots \sin \frac{\pi}{T} x,\ \cos \frac{\pi}{T} nx,\ \sin \frac{\pi}{T} nx, \ldots (n = 1, 2 \ldots)[/math].

Пусть [math] f(x) [/math] определена и суммируема на [math] [0; a] [/math]. Тогда, продолжая ее периодически тем или иным способом на всю ось, мы будем получать разные ряды Фурье:

1. [math] T = a [/math], на [math] [-a; 0] [/math] продолжаем [math] f [/math] как четную функцию. Тогда [math] a_n = \frac2T \int\limits_{Q} f(x) \cos \frac{\pi}{T}nx dx,\ b_n = 0 [/math], ряд Фурье выглядит как [math] \frac{a_0}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} a_n \cos \frac{\pi}{T}nx [/math].
2. [math] T = a [/math], на [math] [-a; 0] [/math] продолжаем [math] f [/math] как нечетную функцию. В этом случае [math] a_n = 0,\ b_n = \frac2T \int\limits_{Q} f(x) \sin \frac{\pi}{T}nx dx [/math], ряд Фурье имеет вид [math] \sum_{n = 1}^{\infty} b_n \sin \frac{\pi}{T}nx [/math].
3. [math] 2T = a [/math], здесь присутствуют все члены ряда.

Итак, если [math] f [/math] задана на [math] [0; a] [/math], то на этом участке ее можно представлять различными рядами Фурье.