Интеграл Римана-Стилтьеса

<<>>

<wikitex> Интеграл Римана-Стилтьеса строится аналогично интегралу Римана:

Пусть дан отрезок $[a, b]$, на котором определены функции $f$ и весовая функция $g$, причем $g$ — не убывает. Пусть на нем есть разбиение $\tau : a=x_0 < \dots < x_n=b$ и точки $\xi_i \in [x_i; x_{i+1}]$. Составим интегральную сумму $\sigma(f, g, \tau) = \sum\limits_{k=0}^{n-1} f(\xi_k) \Delta g_k $, где $\Delta g_k = g(x_{k+1}) - g(x_k) $ (заметим, что т.к. $g$ не убывает, $\Delta g_k \ge 0$).

Определение:

Интегралом Римана-Стилтьеса называется $\int\limits_a^b f dg = \lim\limits_{\operatorname{rang} \tau \to 0} \sigma (f, g, \tau) $, где $\operatorname{rang} \tau = \max(\Delta x_0, \dots \Delta x_{n-1})$. Класс функций, у которых существует интеграл Римана-Стилтьеса обозначанется как $\mathcal{R}(g)$.

Далее аналогично интегралу Римана введем $\omega(f, g, \tau) = \sum\limits_{k=0}^{n-1} (M_k - m_k) \Delta g_k$, где $m_k = \inf\limits_{[x_k \dots x_{k+1}]} f, M_k = \sup\limits_{[x_k \dots x_{k+1}]} f$.

Критерий существования интеграла Римана-Стилтьеса

Теорема (Критерий существования интеграла Римана-Стилтьеса):

$f \in \mathcal{R}(g) \Leftrightarrow \omega(f, g, \tau) \xrightarrow[\operatorname{rang} \tau \to 0]{} 0 $.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Доказывается аналогично интегралу Римана.

[math]\triangleleft[/math]

Напомним совершенно очевидные свойства функций ограниченной вариации:

1. $f, g \in V(a, b) \Rightarrow \alpha f + \beta g \in V(a, b) $
2. $f, g \in V(a, b) \Rightarrow f g \in V(a, b) $

Теперь перенесем определение интеграла Римана-Стилтьеса на $g \in V(a, b)$:

$ g \in V(a, b)$, $g = g_1 - g_2$, $\int\limits_a^b f dg \stackrel {def}{=} \int\limits_a^b f dg_1 - \int\limits_a^b f dg_2$. Заметим, что определенный таким образом интеграл не зависит от выбора $g_1$ и $g_2$, только от их разности.

Интеграл Римана-Стилтьеса обладает линейностью и аддитивностью, а также линейностью по весовой функции: $ \int\limits_a^b f d(\alpha g_1 + \beta g_2) = \alpha \int\limits_a^b f dg_1 + \beta \int\limits_a^b f dg_2 $.

Интеграл Римана-Стилтьеса непрерывной функции

Теорема (о существовании интеграла Римана-Стилтьеса):

Пусть $f$ непрерывна на $[a, b]$, $g \in V(a, b)$. Тогда интеграл Римана-Стилтьеса $ \int\limits_a^b f dg $ существует.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Так как $f$ непрерывна на отрезке, то она равномерно непрерывна, то есть $\forall \varepsilon > 0 \exists \delta > 0:

[math]\triangleleft[/math]

Уточним аддитивность интеграла:

1. $ \exists \int\limits_a^b f dg, \exists \int\limits_a^c f dg, \exists \int\limits_b^c f dg \Rightarrow \int\limits_a^c = \int\limits_a^b + \int\limits_b^c $
2. $ \exists \int\limits_a^d \Rightarrow \exists \int\limits_b^c$, где $ [b, c] \in [a, d]$.
3. Для интеграла Римана из существования $\int\limits_a^b $ и $\int\limits_b^c$ следует существование $\int\limits_a^c$. Для интеграла Римана-Стилтьеса в общем случае это неверно:

Пусть [math] f = \begin{cases} 0, & x \in [0; 1) \\ 1, & x \in [1; 2] \end{cases}, g = \begin{cases} 0, & x \in [0; 1] \\ 1, & x \in (1; 2] \end{cases} [/math].

Тогда на отрезке [math] [0; 1] [/math] все [math] \Delta g_k = 0 [/math], [math] \int\limits_0^1 f dg = 0 [/math]; на отрезке [math] [1; 2] [/math] все [math] \Delta g_k [/math] = 0, кроме [math] \Delta g_0 = 1[/math], [math] \int\limits_1^2 f dg = f(x_0) \Delta g_0 = 1 [/math].

Можно непосредственно убедиться, что оба интеграла существуют.

Но на отрезке [math] [0; 2] [/math] всегда можно предъявить сколь угодно мелкое разбиение, содержащее две точки [math] x_p, x_{p + 1} [/math] по разные стороны от единицы, значит, [math] \omega (f, g, \tau) = 1[/math] не стремится к нулю.

Формула интегрирования по частям

Теорема (формула интегрирования по частям):

Пусть существуют $\int\limits_a^b f dg, \int\limits_a^b g df$. Тогда $\int\limits_a^b f dg = fg \bigl

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

$\sigma(f, g, \tau) = \sum\limits_{k=0}^{n-1} f(\xi_k) (g(x_{k + 1}) - g(x_k)) = \\ \sum\limits_{k=0}^{n-1} f(\xi_k) g(x_{k+1}) - \sum\limits_{k=0}^{n-1} f(\xi_k) g(x_k) = \\ \sum\limits_{j=1}^n f(\xi_{j-1}) g(x_j) - \sum\limits_{k=0}^{n-1} f(\xi_k) g(x_k) = \\ = f(\xi_{n-1}) g(x_n) - f(\xi_0) g(x_0) + \sum\limits_{j=1}^{n-1} g(x_j) (f(\xi_{j - 1}) - f(\xi_j)) = \\ = f(\xi_{n-1}) g(x_n) - f(\xi_0) g(x_0) - \sum\limits_{j=1}^{n-1} g(x_j) (f(\xi_j) - f(\xi_{j-1})) $. Так как интегралы существуют, точки $\xi_j$ можно выбирать как угодно. Примем $\xi_0 = x_0 = a, \xi_{n-1} = x_n = b, \xi_j = x_j, \xi_{j-1} = x_{j-1}$. Получим $f(x)g(x) \bigl

[math]\triangleleft[/math]

Утверждение:

Пусть $f$ непрерывна на $[a, b]$, $f'$ — ограничена на $(a, b)$, тогда $f$ — функция ограниченной вариации.

[math]\triangleright[/math]

$

[math]\triangleleft[/math]

Утверждение:

Пусть $g'$ непрерывна на $[a, b]$ и существует $\int\limits_a^b f(x) g'(x) dx$, тогда существует $\int\limits_a^b f dg$, и его значение совпадает с $\int\limits_a^b f(x) g'(x) dx$.

[math]\triangleright[/math]

Из предыдущего утверждения, $g$ — функция ограниченной вариации, следовательно, $\int\limits_a^b f dg$ существует. Распишем ее интеграл Стилтьеса: $\sigma(f, g, \tau) = \sum\limits_{k=0}^{n-1} f(\xi_k) (g(x_{k+1}) - g(x_k)) =$ (по формуле Лагранжа) $= \sum\limits_{k=0}^{n-1} f(\xi_k) g'(\xi'_k) \Delta x_k = \sum\limits_{k=0}^{n-1} f(\xi_k) g'(\xi_k) \Delta x_k + \sum\limits_{k=0}^{n-1} f(\xi_k) (g'(\xi'_k) - g'(\xi_k)) \Delta x_k $. Первое слагаемое правой части в пределе дает $\int\limits_a^b f(x) g'(x) dx $. Рассмотрим вторую часть: За счет равномерной непрерывности $g'$, если $\operatorname{rang} \tau < \delta $ и $\xi_k, \xi'_k \in [x_k, x_{k+1}]$, то $

[math]\triangleleft[/math]

Оценка коэффициентов Фурье функции ограниченной вариации

В качестве применения этой теоремы оценим коэффициенты Фурье $2\pi$-периодической функции $f \in \bigvee(0, 2\pi)$:

$a_n(f) = \frac{1}{\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(nx) dx = \\ \frac{1}{\pi n} \int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x) d sin(nx) = \frac{1}{\pi n} \left( f(x) \sin(x) \bigl |^{\pi}_{-\pi} - \int\limits_{-\pi}^{\pi} sin(nx) df \right) $ Первое слагаемое после подстановки обнуляется, второе слагаемое оценим сверху как $\bigvee\limits_{-\pi}^{\pi}(f)$. Итак, получили: $|a_n(f)| \le \frac{1}{\pi n} \bigvee\limits_{-\pi}^{\pi}(f)$. Аналогичный результат можно получить для $b_n$.

</wikitex>

<<>>